Tutoriels

Quatre parcours, du premier diagramme à la physique au-delà du Modèle standard. Chacun se fait en une dizaine de minutes ; les nombres cités sont ceux que TreeLevel affiche.

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ : un premier calcul, puis le pic du Z

1. Nouveau document (⌘NCtrl Nbouton Créer un document de l'explorateur). Dans la palette, le modèle StandardModel est sélectionné ; laissez le sens du temps sur temps →.
2. Outil Vertex : cliquez deux fois sur le canvas, à gauche et à droite, pour poser deux vertex.
3. Outil Ligne, particule $\gamma$ : glissez du vertex de gauche au vertex de droite. C'est le propagateur du photon.
4. Particule $e^-/e^+$ : glissez du vide, en bas à gauche, vers le vertex de gauche — la palette annonce « $e^-$ y entre ». Recommencez depuis le haut à gauche : la flèche du flux fermionique remontera le temps, la patte est lue comme un $e^+$ entrant. (Peu importe l'ordre dans lequel vous tirez les deux pattes : ce qui compte, c'est le sens de la flèche.)
5. Particule $\mu^-/\mu^+$ : glissez du vertex de droite vers le vide, en haut à droite ($\mu^-$ sortant), puis du vide en bas à droite vers le vertex (la flèche revient vers le vertex : $\mu^+$ sortant).
6. Regardez l'onglet Analyse : Processus : $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, Diagramme cohérent. Si l'analyse signale un vertex inexistant, une des pattes est lue à l'envers : sélectionnez-la et cochez Antiparticule, ou déplacez son extrémité de l'autre côté du vertex.
7. Dépliez Règles de Feynman et amplitude : le vertex $-ie\gamma^\mu$ deux fois, le propagateur $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, les spineurs $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ et $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$.
8. Onglet Calcul : $\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$, Calculer. $\sigma = 62{,}3\ \mathrm{pb}$. Vérifiez à la main : $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ avec $\alpha = 1/127{,}9$ (valeur du modèle à $M_Z$) et $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3{,}894\times10^8\ \mathrm{pb}$ donne $62{,}3\ \mathrm{pb}$.
9. Revenez dans la palette et cliquez Générer › Ajouter les diagrammes manquants : le diagramme avec le Z apparaît — ainsi que les échanges de h et de $G^0$, proportionnels à $m_e$ et négligeables (l'option Sans échange de scalaires du menu Générer les évite). Le calcul porte désormais sur la somme.
10. Tracé en fonction de l'énergie : de 40 à 200 GeV, 300 points, échelle log, Tracer. Le pic du Z culmine à $1\,979\ \mathrm{pb}$ à $\sqrt s = M_Z = 91{,}19\ \mathrm{GeV}$, avec la largeur $\Gamma_Z = 2{,}495\ \mathrm{GeV}$ déclarée dans le modèle. La courbe passe par un minimum vers $70\ \mathrm{GeV}$ ($25\ \mathrm{pb}$) avant de remonter vers la résonance ; l'interférence $\gamma$–Z, proportionnelle aux petits couplages vectoriels $g_V$, reste discrète dans $\sigma$ totale — c'est dans l'asymétrie avant-arrière qu'elle se voit.

2. La durée de vie du muon

1. Nouveau document, modèle StandardModel. Posez deux vertex.
2. Ligne $W^+/W^-$ entre les deux vertex : un W virtuel.
3. Particule $\mu^-/\mu^+$ : glissez du vide, à gauche, vers le premier vertex ($\mu^-$ entrant). Particule $\nu_\mu$ : glissez du premier vertex vers le vide ($\nu_\mu$ sortant).
4. Au second vertex : $e^-$ sortant (du vertex vers le vide) et $\bar\nu_e$ sortant — tirez la patte du vide vers le vertex pour que la flèche remonte le temps.
5. Vérifiez dans Analyse : $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, cohérent. Une erreur classique est de tirer le $\bar\nu_e$ comme une particule : le vertex ve e W~ demandé n'existe pas, et l'inspecteur liste les vertex voisins qui existent (ve~ e W, e~ ve W~) — autrement dit, une patte est à inverser.
6. Onglet Calcul : la désintégration est à trois corps, l'espace des phases s'intègre exactement (Dalitz). $\Gamma = 3{,}007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$, $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$, $T_{1/2} = 1{,}52\ \mu\mathrm s$. La valeur mesurée est $2{,}197\ \mu\mathrm s$ ; l'écart tient aux corrections radiatives, absentes à l'arbre.

Variante : dans le modèle Hadrons, dessinez $n\to pe^-\bar\nu_e$ par échange de W ($\tau = 946\ \mathrm s$ à l'arbre avec $g_A = 1{,}27$, contre $879\ \mathrm s$ mesurées) ou $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, qui n'a qu'un vertex de contact.

3. $e^+e^-\to W^+W^-$ : générer, sommer, et voir l'annulation de jauge

1. Nouveau document. Posez deux vertex, tirez les pattes externes : $e^-$ et $e^+$ entrants à gauche, $W^-$ et $W^+$ sortants à droite (particule $W^+/W^-$ : tirée du vertex vers le vide, la ligne est un $W^+$ sortant ; du vide vers le vertex, c'est-à-dire contre le temps, un $W^-$ sortant). Ne dessinez pas encore de ligne interne.
2. Générer › Remplacer par tous les diagrammes à l'arbre : quatre diagrammes — échange de $\gamma$, de Z, de h (négligeable, $\propto m_e$) et de $\nu_e$ en voie $t$.
3. Onglet Calcul, $\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$ : $\sigma = 19{,}2\ \mathrm{pb}$, comme au LEP ($17\ \mathrm{pb}$ mesurés, corrections radiatives comprises).
4. Supprimez le diagramme du neutrino (sélectionnez-le dans la liste, −) et recalculez : $18{,}1\ \mathrm{pb}$. Presque rien ne change… à $200\ \mathrm{GeV}$.
5. Tracé en fonction de l'énergie, de 170 à 1 000 GeV, échelle log : sans le neutrino, $\sigma$ croît ($118\ \mathrm{pb}$ à $500\ \mathrm{GeV}$, $385\ \mathrm{pb}$ à $1\ \mathrm{TeV}$) ; avec les quatre diagrammes, elle décroît comme il se doit ($7{,}1\ \mathrm{pb}$ à $500\ \mathrm{GeV}$, $2{,}4\ \mathrm{pb}$ à $1\ \mathrm{TeV}$). C'est l'annulation entre les diagrammes de jauge, et la raison d'être des couplages à trois bosons du Modèle standard.

4. Au-delà du Modèle standard : SU(5) et le MSSM

SU(5) : un boson qui change des quarks en leptons

1. Choisissez le modèle SU5. La palette gagne deux bosons, X (charge $4/3$) et Y ($1/3$), triplets de couleur, de masse $10^{15}\ \mathrm{GeV}$.
2. Dessinez $X\to uu$ : un vertex, X entrant, deux u sortants. Analyse : cohérent, avec le facteur $\varepsilon_{abc}$ de couleur dans la règle — un vertex qui viole le nombre baryonique.
3. Calcul : $\Gamma(X\to uu) = 4{,}17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$. Dessinez $X\to e^+\bar d$ : la même largeur. Les rapports de branchement $\tfrac12/\tfrac12$ sont ceux de Georgi–Glashow ; pour Y, vous trouverez $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$, et $\Gamma_Y = \Gamma_X$, comme il convient à deux membres d'un même doublet.
4. Dessinez $uu\to e^+\bar d$ et générez : trois diagrammes (X en voie $s$, Y en voies $t$ et $u$). À $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$, $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$ ; l'onglet Analyse donne l'expression symbolique complète en $s, t, M_X, M_Y$.

Le fichier du modèle (onglet Théorie) montre comment s'écrivent ces couplages : des bilinéaires $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ avec la matrice de conjugaison de charge $C$. Voir la page Théories.

MSSM : importer un UFO

1. Téléchargez le dossier UFO MSSM_SLHA2 depuis la base de modèles FeynRules (ou tout modèle UFO livré avec MadGraph). Dans la palette, bouton 📁 Importer un dossier UFO, choisissez le dossier.
2. Une seconde plus tard : « UFO importé : 50 champs, 822 vertex ». Le modèle apparaît dans Mes modèles, la palette liste neutralinos, charginos, squarks, sleptons, gluino, avec leurs codes PDG (1000022 pour $\tilde\chi^0_1$…).
3. Dessinez $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ (deux pattes n1 sortantes ; le neutralino est de Majorana, pas d'antiparticule), puis Générer : échange de Z en voie $s$, de $\tilde e_L$ et $\tilde e_R$ en voies $t$ et $u$.
4. Calcul à $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$ : $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$ au point SPS1a, dans la fourchette des études pour un collisionneur linéaire. Les rôles ligne/colonne des spineurs externes changent d'un diagramme à l'autre : TreeLevel applique les règles de flux fermionique de Denner, et le résultat ne dépend pas de l'orientation choisie.