Physique et méthodes

Ce que TreeLevel calcule exactement, comment, et contre quoi il a été vérifié.

Périmètre

TreeLevel calcule des amplitudes à l'arbre (aucune boucle), pour des états initiaux et finaux de particules élémentaires ou effectives du modèle : diffusions $2\to n$ et désintégrations $1\to n$. Les résultats sont des sections efficaces en picobarns (partoniques quand il s'agit de quarks : pas de fonctions de distribution de partons), des largeurs partielles en GeV, des durées de vie en secondes ($\hbar = 6{,}582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$), des rapports de branchement quand le modèle déclare la largeur totale. Les largeurs de résonance déclarées entrent dans les propagateurs ($-iM\Gamma$ au dénominateur) ; les diagrammes d'un même processus sont sommés de façon cohérente, avec leurs signes relatifs.

Conventions

Métrique	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
Matrices de Dirac	base de Weyl (chirale), comme ALOHA ; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
Règle de vertex	$i\times{}$(terme du lagrangien, champs retirés), toutes les impulsions entrantes, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
Propagateurs	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(scalaire)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(fermion)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(vecteur)}$$ en jauge de Feynman ; en jauge unitaire, le vecteur reçoit le terme $-p^\mu p^\nu/M^2$.
Modèle standard	conventions de FeynRules, jauge de Feynman–'t Hooft : $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
Paramètres	ceux de l'UFO sm : $\alpha^{-1} = 127{,}9$, $G_F = 1{,}16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91{,}1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$ dérivée
Couleur	$T^a = \lambda^a/2$, $f^{abc}$ standard, $\varepsilon_{ijk}$ pour les triplets ; les indices de couleur externes sont sommés, l'état initial moyenné (3 par quark, 8 par gluon)

Amplitudes numériques

Pour un point cinématique donné, chaque diagramme est un réseau de tenseurs : les règles des vertex (évaluées numériquement avec les impulsions des pattes), les propagateurs, et les deltas de couleur des lignes internes. Le réseau est contracté sur ses indices internes dans un ordre glouton (toujours le tenseur partageant le plus d'indices avec le résultat courant), ce qui évite de former de grands produits extérieurs — les vertex à quatre gluons y gagnent un facteur 25. Ce réseau ne dépend pas des hélicités : il est calculé une fois, puis contracté avec les fonctions d'onde externes (spineurs $u, v, \bar u, \bar v$ d'hélicité $\pm\tfrac12$ ; vecteurs de polarisation $\varepsilon^\mu$ d'hélicité $\pm1$, et $0$ pour les bosons massifs) pour chaque configuration d'hélicités. $\sum|\mathcal M|^2$ est la somme sur ces configurations et sur les couleurs externes, divisée par la multiplicité de spin et de couleur de l'état initial.

Les diagrammes dont les fermions externes jouent les mêmes rôles (ligne/colonne) partagent leurs fonctions d'onde : leurs réseaux sont sommés avant la boucle sur les hélicités. Les intégrations sur l'angle ou l'énergie sont réparties sur tous les cœurs.

Fermions : chaînes, signes, Majorana

Chaque ligne fermionique continue d'un diagramme forme une chaîne lue du spineur ligne ($\bar u$ sortant ou $\bar v$ entrant) au spineur colonne ($u$ entrant ou $v$ sortant). Le signe relatif entre diagrammes est la parité de la permutation des fermions externes, et $(-1)$ par boucle fermionique.

Avec des fermions de Majorana ou des couplages qui violent le nombre fermionique, une chaîne n'a plus de sens « naturel ». TreeLevel suit les règles de Denner, Eck, Hahn et Küblbeck (1992) : on oriente chaque chaîne arbitrairement ; un vertex traversé contre son orientation propre donne $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ ($\gamma^\mu$ change de signe, $1$, $\gamma^5$ et $\gamma^\mu\gamma^5$ non), un propagateur remonté donne $S(-p)$, et les spineurs externes dépendent de la position dans la chaîne et du caractère entrant/sortant — pas de particule/antiparticule. Les spineurs satisfont $v = C\bar u^{T}$ exactement, condition sans laquelle les interférences entre diagrammes d'orientations différentes sont fausses. Le résultat est indépendant de l'orientation choisie, ce que la suite de tests vérifie en inversant systématiquement le point de départ des chaînes.

Espace des phases et observables

Processus	Méthode	Résultat
$2\to2$	$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$ dans le centre de masse ; $\sigma$ par quadrature de Gauss–Legendre en $\cos\theta$, coupure $|\cos\theta|\le c$ optionnelle	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$ ; balayage en $\sqrt s$
$1\to2$	formule fermée $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	intégration de Dalitz (deux masses invariantes), quadrature	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	Monte Carlo RAMBO (points uniformes dans l'espace des phases massif), coupures en énergie, masse de paire et angle, erreur statistique	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

Les particules identiques dans l'état final reçoivent le facteur $1/n!$ ; le facteur de symétrie d'un diagramme ($1/|\mathrm{Aut}|$) est calculé sur son graphe. Conversion : $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}389379\ \mathrm{mb}$.

Moteur symbolique

Le même graphe est aussi traité symboliquement : chaque chaîne fermionique fermée par la conjugaison complexe devient une trace de Dirac, développée en produits scalaires $p_i\cdot p_j$ et masses ($\gamma^5$ par le tenseur $\varepsilon$, contracté ensuite) ; les sommes de polarisation $-g^{\mu\nu}$ ($+\,p^\mu p^\nu/M^2$ pour les bosons massifs) et les facteurs de couleur sont appliqués ; le résultat, une somme de fractions rationnelles regroupées par dénominateur, est écrit en $s, t, u$ avec les substitutions demandées (masses nulles, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) et rendu en LaTeX. Il coïncide avec le calcul numérique à $10^{-8}$ près sur tous les processus testés — c'est lui qui a permis de déceler, puis de corriger, une erreur d'interférence dans le traitement numérique des Majorana.

Validations

Ce qui est vérifié	Résultat
Règles du Modèle standard contre l'UFO sm de MadGraph	129 vertex sur 129 identiques, CKM complexe comprise
QED : $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, Bhabha, Compton, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	formules des manuels (Peskin & Schroeder) ; Bhabha en trois termes
$e^+e^-\to W^+W^-$	annulation de jauge $\gamma + Z + \nu$ ; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19{,}2\ \mathrm{pb}$
Asymétrie avant-arrière au pic du Z	valeur attendue des couplages $g_V$, $g_A$
Largeurs $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	formules fermées, rapports de branchement
Muon : $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$ ; $\pi^0\to\gamma\gamma$ : $7{,}79\ \mathrm{eV}$ ; $\pi\to\mu\nu$ ; $K\to\mu\nu$ ; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$ : BR $10{,}6\ \%$, $0{,}70\ \%$ ; $D_s\to\mu\nu$ $0{,}54\ \%$ ; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8{,}9\ \mathrm{keV}$ ; $\Lambda\to pe\bar\nu$ à $8\ \%$ ; $n\to pe\bar\nu$ : $946\ \mathrm s$	mesures, à l'arbre
Monte Carlo RAMBO	volumes d'espace des phases exacts ; $2\to2$ et désintégration du muon retrouvés par MC
Majorana : $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$ pour $N$ sans masse ; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$ ; $e^-e^-\to W^-W^-$	indépendance du flux, formules fermées
MSSM_SLHA2 importé : $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	269 fb à SPS1a (littérature : 250–300 fb) ; symbolique = numérique sur $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$
SU(5) : $X\to uu,\ e^+\bar d$ ; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$ ; BR $\tfrac12, \tfrac12$ et $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$ ; $\Gamma_X = \Gamma_Y$ ; équivalence avec un champ conjugué indépendant (facteur 2 exact des chiralités)
Symbolique contre numérique	$10^{-8}$ sur une douzaine de processus, MS, MSSM et SU(5)

La suite de tests du moteur (plus de cent cas) rejoue tout ceci à chaque modification.

Limites connues

• Arbre seulement : pas de boucles, pas de corrections radiatives, pas d'évolution des couplages. Les fantômes de Faddeev–Popov ne sont pas dérivés (inutiles à l'arbre).
• Pas de fonctions de distribution de partons ni d'hadronisation : les processus à quarks sont partoniques ; le modèle Hadrons offre une description effective de quelques hadrons légers.
• Pas de vertex de contact à quatre fermions (chaque vertex fermionique a exactement deux fermions).
• Les largeurs entrent dans les propagateurs sans schéma de soustraction complexe ; hors résonance, l'effet est négligeable.
• Le modèle SU(5) intégré comporte les couplages fermioniques de X et Y, pas leurs auto-couplages de jauge.
• Monte Carlo : l'échantillonnage RAMBO est uniforme ; près des pôles (photons mous), le nombre de points doit augmenter — les coupures sont là pour cela.