Eine Theorie schreiben oder importieren

TreeLevel kennt keine einzige Feynman-Regel auswendig: es leitet sie aus der Lagrangedichte her, die Sie ihm geben. Zwei Wege, sie ihm zu geben — eine .feyn-Datei in einer winzigen Sprache, oder ein UFO-Ordner aus FeynRules.

Das Prinzip

Man deklariert die Felder (Spin, Masse, Breite, Ladung, Farbe) und die Parameter, dann schreibt man die Wechselwirkungs-Lagrangedichte Term für Term. Die kinetischen Terme schreibt man nicht: die Propagatoren folgen aus den Deklarationen und der gewählten Eichung. Jeder Term mit drei oder mehr Feldern wird zu einem Vertex:

$V = i\times\sum_{\text{Zuordnungen Beine}\,\leftrightarrow\,\text{Felder}}\bigl(\text{Term ohne seine Felder},\ \partial_\mu\to -ip_\mu,\ \text{alle Impulse einlaufend}\bigr)$

Die Summe über die Arten, die Beine an die Felder zu hängen, erzeugt die kombinatorischen Faktoren ( $-\lambda/4!\,\phi^4$ ergibt $-i\lambda$ ), die Symmetrisierungen der Vertizes mit identischen Bosonen und, für Majorana-Fermionen oder Kopplungen mit $C$ , die Kombination $\Gamma + \Gamma'$ nach Denner.

Die Sprache `.feyn`

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # Parameter, Zahlenwert optional
cparam V = 0.97                     # komplexer Parameter; conj(V) ist sein Konjugiertes

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # die Breite geht in den Propagator ein
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # Oktett: Gluon
field N  : majorana, mass MN          # sein eigenes Antiteilchen
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # Felder gleicher Struktur
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # nach Familie indizierte Parameter
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # Makro; seine stummen Indizes werden bei jeder Verwendung umbenannt

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → Vertex −iλ

Indizes. Ein in einem Term wiederholter Indexname wird kontrahiert. Die Felder tragen ihre Indizes in dieser Reihenfolge: Spinor, dann Farbe (u[a,k]); Lorentz, dann adjungierte Farbe (G[mu,c]). Der Typ eines Index (Lorentz, Spinor, Triplett, Oktett) ergibt sich aus seiner Stellung.
Konjugation. X~ ist das Konjugierte des Feldes X: e~ ist $\bar e$ , W~ vernichtet ein $W^-$ , wenn W ein $W^+$ vernichtet. Für ein selbstkonjugiertes Feld ( $\gamma, Z, h$ , Majorana) ist die Tilde gegenstandslos.
Eingebaute Tensoren. g (Metrik), delta, gamma, gamma5, PL, PR, C (Ladungskonjugation), T (Gell-Mann/2), f (Strukturkonstanten), eps — Levi-Civita, für Lorentz mit vier, für Farbe mit drei Indizes.
Ableitungen und Konstanten. del[mu] X; I; sqrt2; Exponenten ^2 auf Parametern und Zahlen (ein Feld wird wiederholt: h h h h); conj(...).
Fermionen. Schreiben Sie die Bilinearformen in natürlicher Reihenfolge, $\bar\psi\,\Gamma\,\chi$ (das „Zeilen“-Feld vor dem „Spalten“-Feld). majorana deklariert ein selbstkonjugiertes Feld mit Spin $\tfrac12$ : $\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ ergibt $2\gamma^\mu\gamma^5$ , und $\bar N\gamma^\mu N$ verschwindet, wie es sein muss.
Konventionen. Vertex $= i\times$ Term, Impulse einlaufend, del[mu] → -I p[mu]. Das eingebaute Standardmodell folgt den Konventionen von FeynRules ( $D = \partial - igTA$ , $\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$ , Feynman-Eichung); seine 129 Vertizes stimmen mit denen des UFO sm von MadGraph überein.

Fehler in Syntax, Indizes (derselbe Name als Spinor und als Farbe verwendet) oder Struktur (eine Matrix C, die nicht zwei fermionische Felder verbindet) werden gemeldet — auf Englisch, mit Zeilennummer, im Reiter Theorie.

Beispiel: ein Z′ zum Standardmodell hinzufügen

In der Palette, Modell StandardModel, Schaltfläche Duplizieren. Das neue Modell „StandardModel Kopie“ ist ausgewählt; benennen Sie es in SM-Zprime um.

Reiter Theorie. Fügen Sie unter den Parametern und Feldern hinzu:

param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
# universelle Vektorkopplung an die geladenen Leptonen
L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

Anwenden. Das Z′ erscheint in der Palette, die Vertexliste zählt drei Einträge mehr.
Zeichnen Sie $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ , dann Erzeugen: drei Diagramme ( $\gamma, Z, Z'$ ). Tragen Sie $\sigma$ von 200 bis 5 000 GeV logarithmisch auf: die Resonanz bei 3 TeV hat genau die Breite, die Sie angegeben haben. Für eine stimmige Breite zeichnen Sie $Z'\to e^+e^-$ , lesen $\Gamma$ im Reiter Rechnung ab und tragen es (× Zahl der Kanäle) in WZp ein.

Kopplungen, die die Fermionzahl verletzen

Diquarks, Leptoquarks, X- und Y-Bosonen einer großen vereinheitlichten Theorie, Majorana-Terme mit Dirac-Feldern: solche Kopplungen verbinden zwei Felder „in derselben Richtung“ — zwei $\psi$ oder zwei $\bar\psi$ — mit Hilfe der Ladungskonjugationsmatrix $C = i\gamma^2\gamma^0$ ( $C^{T} = -C$ , $C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$ ):

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (das hermitesch Konjugierte davon)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# Diquark: ε der Farbe, zweimal dasselbe Feld → Regel Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel nimmt $C$ in die Vertexregel auf: die Regel ist $\Gamma$ zwischen dem „Zeilen“-Bein ( $\psi$ oder $\bar\psi$ ) und dem „Spalten“-Bein, und es ist der Fermionfluss — Kette für Kette orientiert nach Denner, Eck, Hahn und Küblbeck —, der die Konjugation trägt: $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ , wenn ein Vertex rückwärts durchlaufen wird, $S(-p)$ für einen rückwärts durchlaufenen Propagator, Spinoren $u, v, \bar u, \bar v$ je nach Stellung in der Kette und nicht nach Teilchen/Antiteilchen. Das Ergebnis hängt nicht von der gewählten Orientierung ab; die Tests prüfen das bei jedem Prozess.

Zwei Identitäten, die der Kern reproduziert und die als Wächter dienen: $\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$ (das Diquark des X koppelt an beide Chiralitäten, daher $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$ ), und die axiale Diquark-Kopplung $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ verschwindet identisch, ebenso wie die Vektorkopplung eines Majorana-Teilchens.

Ein UFO importieren

Das UFO-Format (Universal FeynRules Output) ist der Python-Ordner, den FeynRules für MadGraph und die anderen Generatoren erzeugt: particles.py, parameters.py, couplings.py, lorentz.py, vertices.py … TreeLevel liest ihn direkt, ohne Python: ein kleiner Leser für deklaratives Python wertet die internen Parameter aus (cmath-Funktionen, Mischungsmatrizen, komplexe Ausdrücke), erkennt selbstkonjugierte Fermionen als Majorana und übersetzt jede Lorentz- und Farbstruktur in eine Regel.

Besorgen Sie sich einen UFO-Ordner: aus einer MadGraph-Installation (models/sm, models/MSSM_SLHA2 …) oder aus der FeynRules-Modelldatenbank.
Palette › Modell › 📁 UFO-Ordner importieren. Der Import dauert den Bruchteil einer Sekunde; der Bericht nennt Felder, Vertizes, Parameter und gegebenenfalls die übergangenen Vertizes samt Grund.
Das Modell liegt unter Meine Modelle, bereit für Palette, Erzeugung, numerische und symbolische Rechnungen. Der Reiter Theorie zeigt dazu die Import-Notizen.

Angewandte Konventionen, festgelegt am UFO sm von MadGraph (129/129 Vertizes identisch mit dem hergeleiteten Standardmodell): Teilchen- und Impulslisten alle auslaufend, Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$ mit $i$ auf der $\bar\psi$ -Seite, ProjM $= P_L$ , T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$ , Epsilon der Farbe mit drei Indizes. MSSM_SLHA2 wird vollständig importiert (50 Felder, 1 572 Parameter, 822 Vertizes); seine Neutralinos und sein Gluino werden als Majorana behandelt.

Ein importiertes Modell behält seine Regeln, wie sie sind: es hat in TreeLevel keine Lagrangedichte zum Bearbeiten. Lorentz-Strukturen mit vier Fermionen (Kontakt) und Vertizes mit C im UFO werden noch nicht übersetzt; sie stehen in den Import-Notizen.

FeynRules, `.fr`, UFO, `.feyn`: wer macht was

Datei	Art	Was TreeLevel damit macht
`.fr`	Mathematica-Quelle von FeynRules: Felder, Parameter, Lagrangedichte in Mathematica-Notation.	Wird nicht direkt gelesen (man bräuchte Mathematica). FeynRules exportiert sie als UFO.
UFO-Ordner	Bereits hergeleitete Feynman-Regeln, in deklarativem Python.	Direkt importiert.
`.feyn`	Die Sprache von TreeLevel: dieselben Zutaten wie ein `.fr`, nur knapper.	Zur Laufzeit hergeleitet; in der App bearbeitbar.
`.feyndiag`	TreeLevel-Dokument.	Theorie + Diagramme eines Prozesses.

Ein .fr in ein .feyn zu übertragen geschieht heute von Hand und ist bei einem Modell vernünftiger Größe oft eine Sache von einer Stunde: die Konventionen ( $D_\mu$ , Projektoren, Normierungen) sind dieselben. Für ein großes Modell bleibt der empfohlene Weg .fr → UFO → Import.