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Vier Wege, vom ersten Diagramm bis zur Physik jenseits des Standardmodells. Jeder dauert etwa zehn Minuten; die genannten Zahlen sind die, die TreeLevel anzeigt.

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$: die erste Rechnung, dann die Z-Resonanz

1. Neues Dokument (⌘NStrg NTaste Dokument erstellen im Dokumentbrowser). In der Palette ist das Modell StandardModel gewählt; lassen Sie die Zeitrichtung auf Zeit →.
2. Werkzeug Vertex: klicken Sie zweimal auf die Zeichenfläche, links und rechts, um zwei Vertizes zu setzen.
3. Werkzeug Linie, Teilchen $\gamma$: ziehen Sie vom linken zum rechten Vertex. Das ist der Photon-Propagator.
4. Teilchen $e^-/e^+$: ziehen Sie aus dem Nichts unten links zum linken Vertex — die Palette meldet „$e^-$ läuft ein“. Wiederholen Sie es von oben links: der Pfeil des Fermionflusses läuft dann in der Zeit zurück, das Bein wird als einlaufendes $e^+$ gelesen. (Die Reihenfolge der beiden Beine spielt keine Rolle; es zählt die Richtung des Pfeils.)
5. Teilchen $\mu^-/\mu^+$: ziehen Sie vom rechten Vertex ins Nichts oben rechts (auslaufendes $\mu^-$), dann aus dem Nichts unten rechts zum Vertex (der Pfeil kehrt zum Vertex zurück: auslaufendes $\mu^+$).
6. Sehen Sie in den Reiter Analyse: Prozess: $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, Diagramm stimmig. Meldet die Analyse einen nicht existierenden Vertex, wird eines der Beine verkehrt herum gelesen: wählen Sie es aus und setzen Sie das Häkchen bei Antiteilchen, oder ziehen Sie sein Ende auf die andere Seite des Vertex.
7. Klappen Sie Feynman-Regeln und Amplitude auf: zweimal der Vertex $-ie\gamma^\mu$, der Propagator $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, die Spinoren $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ und $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$.
8. Reiter Rechnung: $\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$, Berechnen. $\sigma = 62{,}3\ \mathrm{pb}$. Prüfen Sie es von Hand: $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ mit $\alpha = 1/127{,}9$ (der Wert des Modells bei $M_Z$) und $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3{,}894\times10^8\ \mathrm{pb}$ ergibt $62{,}3\ \mathrm{pb}$.
9. Zurück in der Palette: Erzeugen › Fehlende Diagramme hinzufügen. Das Diagramm mit dem Z erscheint — ebenso der Austausch von h und $G^0$, proportional zu $m_e$ und vernachlässigbar (die Option Ohne Skalaraustausch im Menü Erzeugen vermeidet sie). Die Rechnung läuft nun über die Summe.
10. Darstellung als Funktion der Energie: von 40 bis 200 GeV, 300 Punkte, logarithmische Skala, Zeichnen. Die Z-Resonanz erreicht $1\,979\ \mathrm{pb}$ bei $\sqrt s = M_Z = 91{,}19\ \mathrm{GeV}$, mit der im Modell angegebenen Breite $\Gamma_Z = 2{,}495\ \mathrm{GeV}$. Die Kurve durchläuft um $70\ \mathrm{GeV}$ ein Minimum ($25\ \mathrm{pb}$), bevor sie zur Resonanz ansteigt; die $\gamma$–Z-Interferenz, proportional zu den kleinen Vektorkopplungen $g_V$, bleibt im totalen $\sigma$ unauffällig — zu sehen ist sie in der Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie.

2. Die Lebensdauer des Myons

1. Neues Dokument, Modell StandardModel. Setzen Sie zwei Vertizes.
2. Linie $W^+/W^-$ zwischen beiden Vertizes: ein virtuelles W.
3. Teilchen $\mu^-/\mu^+$: ziehen Sie aus dem Nichts links zum ersten Vertex (einlaufendes $\mu^-$). Teilchen $\nu_\mu$: ziehen Sie vom ersten Vertex ins Nichts (auslaufendes $\nu_\mu$).
4. Am zweiten Vertex: auslaufendes $e^-$ (vom Vertex ins Nichts) und auslaufendes $\bar\nu_e$ — ziehen Sie das Bein aus dem Nichts zum Vertex, damit der Pfeil in der Zeit zurückläuft.
5. Prüfen Sie in Analyse: $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, stimmig. Ein klassischer Fehler ist, das $\bar\nu_e$ als Teilchen zu ziehen: den verlangten Vertex ve e W~ gibt es nicht, und der Inspektor nennt die benachbarten, die es gibt (ve~ e W, e~ ve W~) — mit anderen Worten: ein Bein ist umzudrehen.
6. Reiter Rechnung: der Zerfall hat drei Körper, der Phasenraum wird exakt integriert (Dalitz). $\Gamma = 3{,}007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$, $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$, $T_{1/2} = 1{,}52\ \mu\mathrm s$. Gemessen sind $2{,}197\ \mu\mathrm s$; die Abweichung liegt an den Strahlungskorrekturen, die auf Baumniveau fehlen.

Variante: zeichnen Sie im Modell Hadrons den Zerfall $n\to pe^-\bar\nu_e$ über W-Austausch ($\tau = 946\ \mathrm s$ auf Baumniveau mit $g_A = 1{,}27$ gegenüber gemessenen $879\ \mathrm s$) oder $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, das nur einen Kontaktvertex hat.

3. $e^+e^-\to W^+W^-$: erzeugen, summieren und die Eichkompensation sehen

1. Neues Dokument. Setzen Sie zwei Vertizes und ziehen Sie die äußeren Beine: $e^-$ und $e^+$ einlaufend links, $W^-$ und $W^+$ auslaufend rechts (Teilchen $W^+/W^-$: vom Vertex ins Nichts gezogen ist die Linie ein auslaufendes $W^+$; aus dem Nichts zum Vertex, also gegen die Zeit, ein auslaufendes $W^-$). Zeichnen Sie noch keine innere Linie.
2. Erzeugen › Durch alle Baumdiagramme ersetzen: vier Diagramme — Austausch von $\gamma$, von Z, von h (vernachlässigbar, $\propto m_e$) und von $\nu_e$ im $t$-Kanal.
3. Reiter Rechnung, $\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 19{,}2\ \mathrm{pb}$, wie am LEP (gemessen $17\ \mathrm{pb}$, mit Strahlungskorrekturen).
4. Löschen Sie das Neutrino-Diagramm (in der Liste auswählen, −) und rechnen Sie erneut: $18{,}1\ \mathrm{pb}$. Fast nichts ändert sich … bei $200\ \mathrm{GeV}$.
5. Darstellung als Funktion der Energie, von 170 bis 1 000 GeV, logarithmische Skala: ohne das Neutrino wächst $\sigma$ ($118\ \mathrm{pb}$ bei $500\ \mathrm{GeV}$, $385\ \mathrm{pb}$ bei $1\ \mathrm{TeV}$); mit allen vier Diagrammen fällt es, wie es sein muss ($7{,}1\ \mathrm{pb}$ bei $500\ \mathrm{GeV}$, $2{,}4\ \mathrm{pb}$ bei $1\ \mathrm{TeV}$). Das ist die Kompensation zwischen den Eichdiagrammen — und der Daseinsgrund der Dreibosonkopplungen des Standardmodells.

4. Jenseits des Standardmodells: SU(5) und das MSSM

SU(5): ein Boson, das Quarks in Leptonen verwandelt

1. Wählen Sie das Modell SU5. Die Palette bekommt zwei Bosonen, X (Ladung $4/3$) und Y ($1/3$), Farbtripletts mit einer Masse von $10^{15}\ \mathrm{GeV}$.
2. Zeichnen Sie $X\to uu$: ein Vertex, X einlaufend, zwei auslaufende u. Analyse: stimmig, mit dem Farbfaktor $\varepsilon_{abc}$ in der Regel — ein Vertex, der die Baryonenzahl verletzt.
3. Rechnung: $\Gamma(X\to uu) = 4{,}17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$. Zeichnen Sie $X\to e^+\bar d$: dieselbe Breite. Die Verzweigungsverhältnisse $\tfrac12/\tfrac12$ sind die von Georgi–Glashow; für Y finden Sie $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$ und $\Gamma_Y = \Gamma_X$, wie es sich für zwei Mitglieder desselben Dubletts gehört.
4. Zeichnen Sie $uu\to e^+\bar d$ und erzeugen Sie: drei Diagramme (X im $s$-Kanal, Y im $t$- und $u$-Kanal). Bei $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$ ist $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$; der Reiter Analyse liefert den vollständigen symbolischen Ausdruck in $s, t, M_X, M_Y$.

Die Modelldatei (Reiter Theorie) zeigt, wie diese Kopplungen geschrieben werden: Bilinearformen $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ mit der Ladungskonjugationsmatrix $C$. Siehe die Seite Theorien.

MSSM: ein UFO importieren

1. Laden Sie den UFO-Ordner MSSM_SLHA2 aus der FeynRules-Modelldatenbank herunter (oder ein beliebiges UFO-Modell, das MadGraph beiliegt). In der Palette: Schaltfläche 📁 UFO-Ordner importieren, dann den Ordner wählen.
2. Eine Sekunde später: „UFO importiert: 50 Felder, 822 Vertizes“. Das Modell erscheint unter Meine Modelle, die Palette führt Neutralinos, Charginos, Squarks, Sleptonen und das Gluino auf, mit ihren PDG-Codes (1000022 für $\tilde\chi^0_1$ …).
3. Zeichnen Sie $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ (zwei auslaufende Beine n1; das Neutralino ist ein Majorana-Teilchen, es gibt kein Antiteilchen), dann Erzeugen: Z-Austausch im $s$-Kanal, $\tilde e_L$ und $\tilde e_R$ im $t$- und $u$-Kanal.
4. Rechnung bei $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$ am Punkt SPS1a, im Bereich der Studien für einen Linearbeschleuniger. Die Zeilen- und Spaltenrollen der äußeren Spinoren wechseln von Diagramm zu Diagramm: TreeLevel wendet die Fermionflussregeln von Denner an, und das Ergebnis hängt nicht von der gewählten Orientierung ab.