Escribir o importar una teoría

TreeLevel no conoce de memoria ni una sola regla de Feynman: las deduce del lagrangiano que usted le da. Dos maneras de dárselo — un archivo .feyn en un lenguaje minúsculo, o una carpeta UFO salida de FeynRules.

El principio

Se declaran los campos (espín, masa, anchura, carga, color) y los parámetros, y luego se escribe el lagrangiano de interacción, término a término. Los términos cinéticos no se escriben: los propagadores se deducen de las declaraciones y del gauge elegido. Cada término con tres campos o más se convierte en un vértice:

$$V = i\times\sum_{\text{asignaciones patas}\,\leftrightarrow\,\text{campos}}\bigl(\text{término sin sus campos},\ \partial_\mu\to -ip_\mu,\ \text{momentos todos entrantes}\bigr)$$

La suma sobre las maneras de enganchar las patas a los campos produce los factores combinatorios ($-\lambda/4!\,\phi^4$ da $-i\lambda$), las simetrizaciones de los vértices con bosones idénticos y, para los fermiones de Majorana o los acoplamientos con $C$, la combinación $\Gamma + \Gamma'$ de Denner.

El lenguaje .feyn

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # parámetros, valor numérico opcional
cparam V = 0.97                     # parámetro complejo; conj(V) es su conjugado

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # la anchura entra en el propagador
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # octete: gluón
field N  : majorana, mass MN          # su propia antipartícula
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # campos de la misma estructura
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # parámetros indexados por familia
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # macro; sus índices mudos se renombran en cada uso

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → vértice −iλ

• Índices. Un nombre de índice repetido en un término queda contraído. Los campos llevan sus índices en este orden: espinorial, luego color (u[a,k]); Lorentz, luego color adjunto (G[mu,c]). El tipo de un índice (Lorentz, espinorial, triplete, octete) se deduce de su posición.
• Conjugación. X~ es el conjugado del campo X: e~ es $\bar e$, W~ destruye una $W^-$ si W destruye una $W^+$. Para un campo autoconjugado ($\gamma, Z, h$, Majorana), la tilde no tiene efecto.
• Tensores predefinidos. g (métrica), delta, gamma, gamma5, PL, PR, C (conjugación de carga), T (Gell-Mann/2), f (constantes de estructura), eps — Levi-Civita, con cuatro índices para Lorentz, con tres para el color.
• Derivadas y constantes. del[mu] X; I; sqrt2; exponentes ^2 sobre parámetros y números (un campo se repite: h h h h); conj(...).
• Fermiones. Escriba las formas bilineales en el orden natural, $\bar\psi\,\Gamma\,\chi$ (el campo «fila» antes del campo «columna»). majorana declara un campo autoconjugado de espín $\tfrac12$: $\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ da $2\gamma^\mu\gamma^5$, y $\bar N\gamma^\mu N$ se anula, como debe ser.
• Convenios. Vértice $= i\times$ término, momentos entrantes, del[mu] → -I p[mu]. El Modelo Estándar integrado sigue los convenios de FeynRules ($D = \partial - igTA$, $\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$, gauge de Feynman); sus 129 vértices coinciden con los del UFO sm de MadGraph.

Los errores de sintaxis, de índices (un mismo nombre usado como espinorial y como color) o de estructura (una matriz C que no une dos campos fermiónicos) se señalan — en inglés, con el número de línea, en la pestaña Teoría.

Ejemplo: añadir una Z′ al Modelo Estándar

1. En la paleta, modelo StandardModel, botón Duplicar. El nuevo modelo «StandardModel copia» queda seleccionado; renómbrelo como SM-Zprime.
2. Pestaña Teoría. Añada, bajo los parámetros y los campos:

   param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
   field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
   # acoplamiento vectorial universal a los leptones cargados
   L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

3. Aplicar. La Z′ aparece en la paleta, la lista de vértices cuenta tres entradas más.
4. Dibuje $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, después Generar: tres diagramas ($\gamma, Z, Z'$). Trace $\sigma$ de 200 a 5 000 GeV en escala logarítmica: la resonancia a 3 TeV tiene exactamente la anchura que usted ha indicado. Para una anchura coherente, dibuje $Z'\to e^+e^-$, lea $\Gamma$ en la pestaña Cálculo e introdúzcala (× el número de canales) en WZp.

Acoplamientos que violan el número fermiónico

Diquarks, leptoquarks, bosones X e Y de una gran unificación, términos de Majorana con campos de Dirac: estos acoplamientos unen dos campos «en el mismo sentido» — dos $\psi$ o dos $\bar\psi$ — mediante la matriz de conjugación de carga $C = i\gamma^2\gamma^0$ ($C^{T} = -C$, $C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$):

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (el conjugado hermítico del anterior)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# diquark: ε de color, dos veces el mismo campo → regla Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel absorbe $C$ en la regla del vértice: la regla es $\Gamma$ entre la pata «fila» ($\psi$ o $\bar\psi$) y la pata «columna», y es el flujo fermiónico — orientado cadena a cadena según Denner, Eck, Hahn y Küblbeck — el que lleva la conjugación: $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ cuando un vértice se recorre al revés, $S(-p)$ para un propagador recorrido al revés, espinores $u, v, \bar u, \bar v$ según la posición en la cadena y no según partícula/antipartícula. El resultado no depende de la orientación elegida; las pruebas lo verifican en cada proceso.

Dos identidades que el núcleo reproduce y que sirven de centinela: $\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$ (el diquark de la X se acopla a ambas quiralidades, de ahí $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$), y el acoplamiento diquark axial $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ se anula idénticamente, igual que el acoplamiento vectorial de un Majorana.

Importar un UFO

El formato UFO (Universal FeynRules Output) es la carpeta Python que FeynRules produce para MadGraph y los demás generadores: particles.py, parameters.py, couplings.py, lorentz.py, vertices.py… TreeLevel la lee directamente, sin Python: un pequeño lector de Python declarativo evalúa los parámetros internos (funciones cmath, matrices de mezcla, expresiones complejas), reconoce como Majorana los fermiones autoconjugados y traduce cada estructura de Lorentz y de color en una regla.

1. Consiga una carpeta UFO: de una instalación de MadGraph (models/sm, models/MSSM_SLHA2…) o de la base de modelos de FeynRules.
2. Paleta › Modelo › 📁 Importar una carpeta UFO. La importación tarda una fracción de segundo; el informe indica campos, vértices, parámetros y, si los hay, los vértices omitidos y por qué.
3. El modelo queda en Mis modelos, listo para la paleta, la generación y los cálculos numéricos y simbólicos. La pestaña Teoría muestra sus notas de importación.

Convenios aplicados, fijados sobre el UFO sm de MadGraph (129/129 vértices idénticos al Modelo Estándar deducido): listas de partículas y momentos todos salientes, Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$ con $i$ del lado $\bar\psi$, ProjM $= P_L$, T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$, Epsilon de color con tres índices. MSSM_SLHA2 se importa por completo (50 campos, 1 572 parámetros, 822 vértices); sus neutralinos y su gluino se tratan como Majorana.

FeynRules, .fr, UFO, .feyn: quién hace qué

Archivo	Naturaleza	Qué hace TreeLevel con él
.fr	Fuente Mathematica de FeynRules: campos, parámetros, lagrangiano en notación Mathematica.	No se lee directamente (haría falta Mathematica). FeynRules lo exporta a UFO.
carpeta UFO	Reglas de Feynman ya deducidas, en Python declarativo.	Se importa directamente.
.feyn	El lenguaje de TreeLevel: los mismos ingredientes que un .fr, en más conciso.	Se deduce en tiempo de ejecución; editable en la app.
.feyndiag	Documento TreeLevel.	Teoría + diagramas de un proceso.

Transcribir un .fr a un .feyn se hace hoy a mano y suele ser cosa de una hora para un modelo de tamaño razonable: los convenios ($D_\mu$, proyectores, normalizaciones) son los mismos. Para un modelo grande, la vía recomendada sigue siendo .fr → UFO → importación.