理論を書く、あるいは読み込む

TreeLevel はファインマン則をひとつも暗記していません。与えられたラグランジアンから導きます。与え方はふたつ——ごく小さな言語で書いた .feyn ファイル、あるいは FeynRules が出力した UFO フォルダです。

原理

場（スピン、質量、幅、電荷、色）とパラメータを宣言し、続いて相互作用ラグランジアンを項ごとに書きます。運動項は書きません。伝播関数は宣言と選んだゲージから決まります。場を三つ以上含む項はすべて頂点になります。

$V = i\times\sum_{\text{外線}\,\leftrightarrow\,\text{場の割り当て}}\bigl(\text{場を取り除いた項、}\partial_\mu\to -ip_\mu\text{、運動量はすべて流入向き}\bigr)$

外線を場に割り当てる場合の数の和が、組合せ因子（ $-\lambda/4!\,\phi^4$ から $-i\lambda$ ）、同種ボソンを含む頂点の対称化、そしてマヨラナ・フェルミオンや $C$ を含む結合における Denner の組合せ $\Gamma + \Gamma'$ を生みます。

`.feyn` 言語

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # パラメータ、数値は省略可
cparam V = 0.97                     # 複素パラメータ。conj(V) がその共役

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # 幅は伝播関数に入る
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # 八重項：グルーオン
field N  : majorana, mass MN          # 自分自身が反粒子
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # 同じ構造をもつ場のまとまり
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # 族で添字づけしたパラメータ
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # マクロ。ダミー添字は使うたびに付け替えられる

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → 頂点 −iλ

添字。同じ項の中で繰り返された添字名は縮約されます。場は添字をこの順で持ちます：スピノル、次に色（u[a,k]）。ローレンツ、次に随伴色（G[mu,c]）。添字の種類（ローレンツ、スピノル、三重項、八重項）は位置から決まります。
共役。X~ は場 X の共役です。e~ は $\bar e$ 、W が $W^+$ を消すなら W~ は $W^-$ を消します。自己共役な場（ $\gamma, Z, h$ 、マヨラナ）ではチルダは何もしません。
組み込みテンソル。g（計量）、delta、gamma、gamma5、PL、PR、C（荷電共役）、T（ゲルマン/2）、f（構造定数）、eps — レヴィ＝チヴィタ。ローレンツでは添字四つ、色では三つ。
微分と定数。del[mu] X、I、sqrt2、パラメータと数に対する冪 ^2（場は並べて書きます：h h h h）、conj(...)。
フェルミオン。双一次形式は自然な順序 $\bar\psi\,\Gamma\,\chi$ で書いてください（「行」の場が先、「列」の場が後）。majorana はスピン $\tfrac12$ の自己共役な場を宣言します。 $\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ は $2\gamma^\mu\gamma^5$ を与え、 $\bar N\gamma^\mu N$ はあるべき通りゼロになります。
規約。頂点 $= i\times$ 項、運動量は流入向き、del[mu] → -I p[mu]。組み込みの標準模型は FeynRules の規約に従います（ $D = \partial - igTA$ 、 $\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$ 、ファインマン・ゲージ）。その 129 個の頂点は MadGraph の UFO sm と一致します。

構文の誤り、添字の誤り（同じ名前をスピノルにも色にも使うなど）、構造の誤り（C 行列がフェルミオン場ふたつを結んでいない）は、行番号つきで英語で「理論」タブに表示されます。

例：標準模型に Z′ を加える

パレットでモデル StandardModel を選び、複製ボタンを押します。新しいモデル「StandardModel のコピー」が選択された状態になるので、SM-Zprime と改名します。

理論タブ。パラメータと場の下に次を加えます。

param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
# 荷電レプトンへの普遍的なベクトル結合
L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

適用。Z′ がパレットに現れ、頂点の一覧が三つ増えます。
$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ を描き、生成：図は三つ（ $\gamma, Z, Z'$ ）。 $\sigma$ を 200 から 5 000 GeV まで対数目盛で描くと、3 TeV の共鳴はまさに指定した幅を持ちます。幅を自己無撞着にするには $Z'\to e^+e^-$ を描き、「計算」タブで $\Gamma$ を読み、それを（× チャンネル数）WZp に入れてください。

フェルミオン数を破る結合

ダイクォーク、レプトクォーク、大統一理論の X・Y ボソン、ディラック場に対するマヨラナ項——こうした結合は「同じ向き」のふたつの場、すなわち $\psi$ ふたつ、あるいは $\bar\psi$ ふたつを、荷電共役行列 $C = i\gamma^2\gamma^0$ （ $C^{T} = -C$ 、 $C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$ ）で結びます。

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (上のエルミート共役)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# ダイクォーク：色の ε、同じ場が二度 → 規則 Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel は $C$ を頂点規則に吸収します。規則は「行」の外線（ $\psi$ または $\bar\psi$ ）と「列」の外線のあいだの $\Gamma$ であり、共役を担うのはフェルミオン流です。Denner、Eck、Hahn、Küblbeck に従って鎖ごとに向きを定め、流れに逆らって頂点を通るときは $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ 、逆向きにたどる伝播関数は $S(-p)$ 、外線スピノル $u, v, \bar u, \bar v$ は粒子か反粒子かではなく鎖の中での位置で決まります。結果は選んだ向きによりません。テストはこれを各過程で確認しています。

カーネルが再現し、見張り役として働くふたつの恒等式： $\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$ （X のダイクォーク結合は両方のカイラリティに付くので $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$ ）、そして軸性ダイクォーク結合 $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ は、マヨラナ粒子のベクトル結合と同様に恒等的に消えます。

UFO を読み込む

UFO 形式（Universal FeynRules Output）とは、FeynRules が MadGraph や他の生成器のために出力する Python のフォルダです：particles.py、parameters.py、couplings.py、lorentz.py、vertices.py…。TreeLevel は Python を使わずこれを直接読みます。宣言的 Python 用の小さな読み取り器が内部パラメータ（cmath 関数、混合行列、複素式）を評価し、自己共役なフェルミオンをマヨラナと認識し、ローレンツ構造と色構造のそれぞれを規則に翻訳します。

UFO フォルダを用意します。MadGraph のインストール（models/sm、models/MSSM_SLHA2…）から、あるいは FeynRules のモデル集から。
パレット ›モデル› 📁 UFO フォルダを読み込む。読み込みは一瞬で終わり、報告に場・頂点・パラメータ、そして飛ばした頂点があればその理由が示されます。
モデルはマイモデルに入り、パレット、図の生成、数値計算と記号計算にそのまま使えます。「理論」タブには読み込みメモが表示されます。

適用される規約は MadGraph の UFO sm で確定させたものです（129/129 の頂点が導出した標準模型と一致）：粒子と運動量の並びはすべて外向き、Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$ （ $i$ が $\bar\psi$ 側）、ProjM $= P_L$ 、T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$ 、色の Epsilon は添字三つ。MSSM_SLHA2 は丸ごと読み込めます（場 50、パラメータ 1 572、頂点 822）。ニュートラリーノとグルイーノはマヨラナとして扱われます。

読み込んだモデルは規則をそのまま保持します。TreeLevel 上で編集できるラグランジアンは持ちません。四フェルミオン（接触）型のローレンツ構造と、UFO 中で C を含む頂点はまだ翻訳されません。読み込みメモに記載されます。

FeynRules、`.fr`、UFO、`.feyn`：それぞれの役割

ファイル	中身	TreeLevel での扱い
`.fr`	FeynRules の Mathematica ソース：Mathematica 記法による場、パラメータ、ラグランジアン。	直接は読みません（Mathematica が要ります）。FeynRules が UFO に書き出します。
UFO フォルダ	すでに導出されたファインマン則。宣言的 Python。	そのまま読み込みます。
`.feyn`	TreeLevel の言語：`.fr` と同じ中身を、より簡潔に。	実行時に導出。アプリ内で編集できます。
`.feyndiag`	TreeLevel の書類。	理論 + ある過程の図。

.fr を .feyn に書き写す作業は今のところ手作業ですが、ほどほどの大きさのモデルなら一時間ほどで済むことが多いです。規約（ $D_\mu$ 、射影演算子、規格化）は同じだからです。大きなモデルでは、推奨される道筋は依然として .fr → UFO → 読み込みです。