सिद्धांत लिखें या आयात करें

TreeLevel को फ़ाइनमैन का एक भी नियम कंठस्थ नहीं है: वह उन्हें उस लाग्रांजियन से निकालता है जो आप उसे देते हैं। देने के दो रास्ते हैं — एक नन्ही-सी भाषा में लिखी .feyn फ़ाइल, या FeynRules से निकला एक UFO फ़ोल्डर।

सिद्धांत क्या है

पहले क्षेत्र (प्रचक्रण, द्रव्यमान, चौड़ाई, आवेश, वर्ण) और प्राचल घोषित किए जाते हैं, फिर अन्योन्यक्रिया लाग्रांजियन पद-दर-पद लिखा जाता है। गतिज पद लिखने की ज़रूरत नहीं: प्रसारक घोषणाओं और चुने हुए गेज से निकल आते हैं। तीन या उससे अधिक क्षेत्रों वाला हर पद एक शीर्ष बन जाता है:

$V = i\times\sum_{\text{टाँगें}\,\leftrightarrow\,\text{क्षेत्र के मेल}}\bigl(\text{क्षेत्रों को हटाकर बचा पद},\ \partial_\mu\to -ip_\mu,\ \text{सभी संवेग भीतर की ओर}\bigr)$

टाँगों को क्षेत्रों से जोड़ने के तरीकों पर यह योग ही संयोजन गुणक देता है ( $-\lambda/4!\,\phi^4$ से $-i\lambda$ ), समरूप बोसॉन वाले शीर्षों का सममितीकरण देता है, और मायोराना फ़र्मिऑनों या $C$ वाले युग्मनों के लिए Denner का संयोजन $\Gamma + \Gamma'$ देता है।

`.feyn` भाषा

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # प्राचल, संख्यात्मक मान वैकल्पिक
cparam V = 0.97                     # सम्मिश्र प्राचल; conj(V) उसका संयुग्मी

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # चौड़ाई प्रसारक में जाती है
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # अष्टक: ग्लूऑन
field N  : majorana, mass MN          # स्वयं ही अपना प्रतिकण
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # एक ही संरचना वाले क्षेत्र
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # परिवार से अनुक्रमित प्राचल
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # मैक्रो; इसके मूक सूचकांक हर प्रयोग पर नए नाम पाते हैं

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → शीर्ष −iλ

सूचकांक। एक ही पद में दोहराया गया सूचकांक-नाम संकुचित हो जाता है। क्षेत्र अपने सूचकांक इस क्रम में रखते हैं: प्रचक्रक, फिर वर्ण (u[a,k]); लोरेंत्स, फिर सहचर वर्ण (G[mu,c])। सूचकांक का प्रकार (लोरेंत्स, प्रचक्रक, त्रिक, अष्टक) उसकी जगह से तय होता है।
संयुग्मन। X~ क्षेत्र X का संयुग्मी है: e~ यानी $\bar e$ ; यदि W एक $W^+$ नष्ट करता है तो W~ एक $W^-$ नष्ट करता है। स्वसंयुग्मी क्षेत्र ( $\gamma, Z, h$ , मायोराना) पर टिल्ड का कोई असर नहीं।
अंतर्निहित प्रदिश। g (मापिकी), delta, gamma, gamma5, PL, PR, C (आवेश संयुग्मन), T (गेल-मान/2), f (संरचना स्थिरांक), eps — लेवी-चिविता, लोरेंत्स के लिए चार सूचकांक, वर्ण के लिए तीन।
अवकलज और स्थिरांक। del[mu] X; I; sqrt2; प्राचलों और संख्याओं पर घात ^2 (क्षेत्र दोहराकर लिखा जाता है: h h h h); conj(...)।
फ़र्मिऑन। द्विरैखिक रूप स्वाभाविक क्रम में लिखें, $\bar\psi\,\Gamma\,\chi$ («पंक्ति» वाला क्षेत्र पहले, «स्तंभ» वाला बाद में)। majorana प्रचक्रण $\tfrac12$ का स्वसंयुग्मी क्षेत्र घोषित करता है: $\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ से $2\gamma^\mu\gamma^5$ मिलता है, और $\bar N\gamma^\mu N$ शून्य हो जाता है, जैसा होना ही चाहिए।
परिपाटियाँ। शीर्ष $= i\times$ पद, संवेग भीतर की ओर, del[mu] → -I p[mu]। अंतर्निहित मानक मॉडल FeynRules की परिपाटियाँ मानता है ( $D = \partial - igTA$ , $\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$ , फ़ाइनमैन गेज); उसके 129 शीर्ष MadGraph के UFO sm से मेल खाते हैं।

वाक्य-रचना की, सूचकांकों की (एक ही नाम प्रचक्रक और वर्ण दोनों के लिए) या संरचना की भूल (कोई C आव्यूह जो दो फ़र्मिऑनिक क्षेत्रों को नहीं जोड़ता) बता दी जाती है — अंग्रेज़ी में, पंक्ति संख्या के साथ, «सिद्धांत» टैब में।

उदाहरण: मानक मॉडल में एक Z′ जोड़ना

पट्टिका में मॉडल StandardModel चुनें, प्रतिलिपि बटन दबाएँ। नया मॉडल «StandardModel प्रति» चुना हुआ है; उसका नाम बदलकर SM-Zprime कर दें।

सिद्धांत टैब। प्राचलों और क्षेत्रों के नीचे जोड़ें:

param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
# आवेशित लेप्टॉनों से सार्वत्रिक सदिश युग्मन
L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

लागू करें। Z′ पट्टिका में आ जाता है, शीर्षों की सूची में तीन प्रविष्टियाँ बढ़ जाती हैं।
$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ बनाइए, फिर उत्पन्न करें: तीन आरेख ( $\gamma, Z, Z'$ )। $\sigma$ को 200 से 5 000 GeV तक लघुगणकीय पैमाने पर खींचिए: 3 TeV पर अनुनाद की चौड़ाई ठीक वही है जो आपने भरी थी। संगत चौड़ाई के लिए $Z'\to e^+e^-$ बनाइए, «गणना» टैब में $\Gamma$ पढ़िए और उसे (× चैनलों की संख्या) WZp में डाल दीजिए।

फ़र्मिऑन संख्या का उल्लंघन करने वाले युग्मन

डाइक्वार्क, लेप्टोक्वार्क, महा-एकीकरण के X और Y बोसॉन, डिराक क्षेत्रों पर मायोराना पद: ये युग्मन «एक ही दिशा» वाले दो क्षेत्रों को — दो $\psi$ या दो $\bar\psi$ को — आवेश संयुग्मन आव्यूह $C = i\gamma^2\gamma^0$ ( $C^{T} = -C$ , $C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$ ) के ज़रिए जोड़ते हैं:

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (ऊपर वाले का हर्मिटी संयुग्मी)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# डाइक्वार्क: वर्ण का ε, एक ही क्षेत्र दो बार → नियम Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel $C$ को शीर्ष-नियम में समा लेता है: नियम «पंक्ति» टाँग ( $\psi$ या $\bar\psi$ ) और «स्तंभ» टाँग के बीच का $\Gamma$ है, और संयुग्मन का भार उठाता है फ़र्मिऑनिक प्रवाह — Denner, Eck, Hahn और Küblbeck के अनुसार शृंखला-दर-शृंखला दिशा दी जाती है: प्रवाह के विरुद्ध किसी शीर्ष से गुज़रने पर $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ , उल्टी दिशा में तय किए प्रसारक के लिए $S(-p)$ , और बाह्य प्रचक्रक $u, v, \bar u, \bar v$ शृंखला में स्थान से तय होते हैं, कण/प्रतिकण से नहीं। परिणाम चुनी हुई दिशा पर निर्भर नहीं करता; परीक्षण हर प्रक्रिया पर यही जाँचते हैं।

दो सर्वसमिकाएँ जिन्हें कर्नेल पुनः उत्पन्न करता है और जो पहरेदार का काम करती हैं: $\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$ (X का डाइक्वार्क युग्मन दोनों कायरलताओं से जुड़ता है, इसीलिए $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$ ), और अक्षीय डाइक्वार्क युग्मन $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ सर्वथा शून्य हो जाता है, ठीक वैसे ही जैसे किसी मायोराना कण का सदिश युग्मन।

UFO आयात करना

UFO प्रारूप (Universal FeynRules Output) वही पायथन फ़ोल्डर है जो FeynRules, MadGraph और बाकी जनित्रों के लिए बनाता है: particles.py, parameters.py, couplings.py, lorentz.py, vertices.py… TreeLevel उसे पायथन के बिना सीधे पढ़ता है: घोषणात्मक पायथन का एक छोटा पाठक आंतरिक प्राचलों का मान निकालता है (cmath फलन, मिश्रण आव्यूह, सम्मिश्र व्यंजक), स्वसंयुग्मी फ़र्मिऑनों को मायोराना के रूप में पहचानता है, और हर लोरेंत्स तथा वर्ण संरचना को एक नियम में बदल देता है।

कोई UFO फ़ोल्डर लीजिए: MadGraph की स्थापना से (models/sm, models/MSSM_SLHA2…) या FeynRules के मॉडल-संग्रह से।
पट्टिका › मॉडल › 📁 UFO फ़ोल्डर आयात करें। आयात में सेकंड का अंश लगता है; विवरण में क्षेत्र, शीर्ष, प्राचल और, यदि कोई हों, छोड़े गए शीर्ष और उनका कारण बताया जाता है।
मॉडल मेरे मॉडल में आ जाता है, पट्टिका, आरेख-उत्पादन तथा संख्यात्मक और प्रतीकात्मक गणना के लिए तैयार। «सिद्धांत» टैब उसकी आयात टिप्पणियाँ दिखाता है।

लागू परिपाटियाँ MadGraph के UFO sm पर कसी गई हैं (129/129 शीर्ष निकाले गए मानक मॉडल के समान): कणों और संवेगों की सूचियाँ सभी बाहर की ओर, Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$ जिसमें $i$ $\bar\psi$ की ओर, ProjM $= P_L$ , T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$ , वर्ण का Epsilon तीन सूचकांकों वाला। MSSM_SLHA2 पूरा-का-पूरा आयात होता है (50 क्षेत्र, 1 572 प्राचल, 822 शीर्ष); उसके न्यूट्रालीनो और ग्लुइनो मायोराना माने जाते हैं।

आयात किया गया मॉडल अपने नियम ज्यों-के-त्यों रखता है: TreeLevel में उसका कोई संपादन-योग्य लाग्रांजियन नहीं होता। चार-फ़र्मिऑन (संपर्क) लोरेंत्स संरचनाएँ और UFO में C वाले शीर्ष अभी अनूदित नहीं होते; वे आयात टिप्पणियों में दिखते हैं।

FeynRules, `.fr`, UFO, `.feyn`: कौन क्या करता है

फ़ाइल	स्वरूप	TreeLevel उससे क्या करता है
`.fr`	FeynRules का Mathematica स्रोत: Mathematica संकेतन में क्षेत्र, प्राचल, लाग्रांजियन।	सीधे नहीं पढ़ा जाता (उसके लिए Mathematica चाहिए)। FeynRules उसे UFO में निर्यात करता है।
UFO फ़ोल्डर	पहले से निकाले गए फ़ाइनमैन नियम, घोषणात्मक पायथन में।	सीधे आयात किया जाता है।
`.feyn`	TreeLevel की भाषा: `.fr` जैसी ही सामग्री, पर अधिक संक्षिप्त।	चलते समय निकाला जाता है; ऐप में संपादन-योग्य।
`.feyndiag`	TreeLevel दस्तावेज़।	सिद्धांत + किसी प्रक्रिया के आरेख।

.fr को .feyn में उतारना आज हाथ से होता है और ठीक-ठाक आकार के मॉडल के लिए अक्सर एक घंटे की बात है: परिपाटियाँ ( $D_\mu$ , प्रक्षेपक, मानकीकरण) वही हैं। बड़े मॉडल के लिए सुझाया रास्ता अब भी .fr → UFO → आयात ही है।