이론을 쓰거나 가져오기

TreeLevel은 파인만 규칙을 하나도 외우고 있지 않습니다. 여러분이 준 라그랑지안에서 규칙을 이끌어냅니다. 주는 방법은 두 가지 — 아주 작은 언어로 쓴 .feyn 파일, 또는 FeynRules가 만들어 낸 UFO 폴더입니다.

원리

장(스핀, 질량, 너비, 전하, 색)과 매개변수를 선언한 뒤, 상호작용 라그랑지안을 항 하나씩 적습니다. 운동항은 적지 않습니다. 전파인자는 선언과 선택한 게이지에서 따라 나옵니다. 장이 셋 이상 들어간 항은 모두 꼭짓점이 됩니다.

$V = i\times\sum_{\text{다리}\,\leftrightarrow\,\text{장 배정}}\bigl(\text{장을 뺀 항},\ \partial_\mu\to -ip_\mu,\ \text{운동량은 모두 들어오는 방향}\bigr)$

다리를 장에 붙이는 방법들에 대한 합이 조합 인자( $-\lambda/4!\,\phi^4\to -i\lambda$ ), 동일한 보손이 있는 꼭짓점의 대칭화, 그리고 마요라나 페르미온이나 $C$ 가 들어간 결합에서의 Denner 조합 $\Gamma + \Gamma'$ 를 만들어 냅니다.

`.feyn` 언어

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # 매개변수, 수치는 선택 사항
cparam V = 0.97                     # 복소 매개변수. conj(V)가 그 켤레

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # 너비는 전파인자에 들어간다
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # 팔중항: 글루온
field N  : majorana, mass MN          # 자기 자신이 반입자
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # 구조가 같은 장들
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # 족으로 첨자를 매긴 매개변수
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # 매크로. 더미 첨자는 쓸 때마다 이름이 바뀐다

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → 꼭짓점 −iλ

첨자. 한 항 안에서 되풀이된 첨자 이름은 축약됩니다. 장은 첨자를 이 순서로 답니다: 스피너, 다음에 색(u[a,k]); 로런츠, 다음에 딸림 색(G[mu,c]). 첨자의 종류(로런츠, 스피너, 삼중항, 팔중항)는 자리에서 결정됩니다.
켤레. X~는 장 X의 켤레입니다. e~는 $\bar e$ 이고, W가 $W^+$ 를 없애면 W~는 $W^-$ 를 없앱니다. 자기켤레인 장( $\gamma, Z, h$ , 마요라나)에서는 물결표가 아무 일도 하지 않습니다.
내장 텐서. g(계량), delta, gamma, gamma5, PL, PR, C(전하 켤레), T(겔만/2), f(구조 상수), eps — 레비치비타. 로런츠에서는 첨자 넷, 색에서는 셋.
미분과 상수. del[mu] X; I; sqrt2; 매개변수와 수에 대한 거듭제곱 ^2(장은 되풀이해 씁니다: h h h h); conj(...).
페르미온. 겹선형식은 자연스러운 차례 $\bar\psi\,\Gamma\,\chi$ 로 쓰십시오(「행」 장이 먼저, 「열」 장이 나중). majorana는 스핀 $\tfrac12$ 인 자기켤레 장을 선언합니다. $\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ 은 $2\gamma^\mu\gamma^5$ 를 주고, $\bar N\gamma^\mu N$ 은 마땅히 그래야 하듯 0이 됩니다.
규약. 꼭짓점 $= i\times$ 항, 운동량은 들어오는 방향, del[mu] → -I p[mu]. 내장 표준 모형은 FeynRules 규약을 따릅니다( $D = \partial - igTA$ , $\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$ , 파인만 게이지). 그 129개 꼭짓점은 MadGraph의 UFO sm과 일치합니다.

문법 오류, 첨자 오류(같은 이름을 스피너로도 색으로도 쓴 경우), 구조 오류(C 행렬이 페르미온 장 둘을 잇지 않는 경우)는 줄 번호와 함께 영어로 「이론」 탭에 표시됩니다.

예: 표준 모형에 Z′ 더하기

팔레트에서 모델 StandardModel을 고르고 복제 단추를 누릅니다. 새 모델 「StandardModel 사본」이 선택된 상태가 되면 SM-Zprime으로 이름을 바꿉니다.

이론 탭. 매개변수와 장 아래에 다음을 더합니다.

param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
# 하전 렙톤에 대한 보편적 벡터 결합
L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

적용. Z′가 팔레트에 나타나고 꼭짓점 목록이 셋 늘어납니다.
$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ 를 그리고 생성: 그림 셋( $\gamma, Z, Z'$ ). $\sigma$ 를 200에서 5 000 GeV까지 로그 눈금으로 그리면, 3 TeV의 공명은 여러분이 적어 넣은 바로 그 너비를 가집니다. 너비를 앞뒤가 맞게 하려면 $Z'\to e^+e^-$ 를 그려 「계산」 탭에서 $\Gamma$ 를 읽고, 그것을 (× 채널 수) WZp에 넣으십시오.

페르미온 수를 깨는 결합

다이쿼크, 렙토쿼크, 대통일 이론의 X·Y 보손, 디랙 장에 붙는 마요라나 항 — 이런 결합은 「같은 방향」의 두 장, 곧 $\psi$ 둘 또는 $\bar\psi$ 둘을 전하 켤레 행렬 $C = i\gamma^2\gamma^0$ ( $C^{T} = -C$ , $C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$ )로 잇습니다.

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (위 항의 에르미트 켤레)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# 다이쿼크: 색 ε, 같은 장이 두 번 → 규칙 Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel은 $C$ 를 꼭짓점 규칙 안으로 흡수합니다. 규칙은 「행」 다리( $\psi$ 또는 $\bar\psi$ )와 「열」 다리 사이의 $\Gamma$ 이며, 켤레를 짊어지는 것은 페르미온 흐름입니다. Denner, Eck, Hahn, Küblbeck을 따라 사슬마다 방향을 정하고, 흐름을 거슬러 꼭짓점을 지날 때는 $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ , 거꾸로 지나는 전파인자는 $S(-p)$ , 바깥 스피너 $u, v, \bar u, \bar v$ 는 입자냐 반입자냐가 아니라 사슬에서의 자리로 정해집니다. 결과는 고른 방향에 의존하지 않으며, 시험이 과정마다 이를 확인합니다.

커널이 재현하며 파수꾼 노릇을 하는 두 항등식: $\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$ (X의 다이쿼크 결합은 두 손지기 모두에 붙으므로 $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$ ), 그리고 축성 다이쿼크 결합 $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ 는 마요라나 입자의 벡터 결합과 마찬가지로 항등적으로 사라집니다.

UFO 가져오기

UFO 형식(Universal FeynRules Output)은 FeynRules가 MadGraph를 비롯한 생성기들을 위해 만들어 내는 파이썬 폴더입니다: particles.py, parameters.py, couplings.py, lorentz.py, vertices.py… TreeLevel은 파이썬 없이 이를 곧바로 읽습니다. 선언적 파이썬을 읽는 작은 판독기가 내부 매개변수(cmath 함수, 섞임 행렬, 복소식)를 계산하고, 자기켤레 페르미온을 마요라나로 알아보며, 로런츠 구조와 색 구조를 각각 규칙으로 옮깁니다.

UFO 폴더를 마련합니다: MadGraph 설치본(models/sm, models/MSSM_SLHA2…)에서, 또는 FeynRules 모델 모음에서.
팔레트 › 모델 › 📁 UFO 폴더 가져오기. 가져오기는 눈 깜짝할 사이에 끝나며, 보고서에 장·꼭짓점·매개변수와, 건너뛴 꼭짓점이 있다면 그 까닭이 적힙니다.
모델은 내 모델에 들어가 팔레트, 그림 생성, 수치 및 기호 계산에 바로 쓸 수 있습니다. 「이론」 탭에는 그 가져오기 메모가 보입니다.

적용하는 규약은 MadGraph의 UFO sm으로 맞춘 것입니다(129/129 꼭짓점이 이끌어낸 표준 모형과 같음): 입자와 운동량 목록은 모두 나가는 방향, Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$ 에서 $i$ 는 $\bar\psi$ 쪽, ProjM $= P_L$ , T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$ , 색 Epsilon은 첨자 셋. MSSM_SLHA2는 통째로 들어옵니다(장 50, 매개변수 1 572, 꼭짓점 822). 그 뉴트랄리노와 글루이노는 마요라나로 다룹니다.

가져온 모델은 규칙을 그대로 지닙니다. TreeLevel 안에서 고칠 수 있는 라그랑지안은 없습니다. 네 페르미온(접촉) 로런츠 구조와 UFO 안에서 C가 들어간 꼭짓점은 아직 옮기지 않습니다. 가져오기 메모에 적힙니다.

FeynRules, `.fr`, UFO, `.feyn`: 무엇이 무엇을 하는가

파일	성격	TreeLevel이 하는 일
`.fr`	FeynRules의 매스매티카 소스: 매스매티카 표기로 쓴 장, 매개변수, 라그랑지안.	곧바로 읽지 않습니다(매스매티카가 있어야 합니다). FeynRules가 UFO로 내보냅니다.
UFO 폴더	이미 이끌어낸 파인만 규칙. 선언적 파이썬.	곧바로 가져옵니다.
`.feyn`	TreeLevel의 언어: `.fr`와 같은 재료를 더 간결하게.	실행할 때 이끌어냅니다. 앱 안에서 고칠 수 있습니다.
`.feyndiag`	TreeLevel 문서.	이론 + 한 과정의 그림들.

.fr를 .feyn으로 옮겨 적는 일은 지금은 손으로 하며, 적당한 크기의 모델이라면 대개 한 시간이면 됩니다. 규약( $D_\mu$ , 사영 연산자, 규격화)이 같기 때문입니다. 큰 모델이라면 권하는 길은 여전히 .fr → UFO → 가져오기입니다.