Physik und Methoden

Was TreeLevel genau rechnet, wie es das tut und wogegen es geprüft wurde.

Geltungsbereich

TreeLevel berechnet Amplituden auf Baumniveau (keine Schleifen), für Anfangs- und Endzustände aus elementaren oder effektiven Teilchen des Modells: Streuungen $2\to n$ und Zerfälle $1\to n$. Die Ergebnisse sind Wirkungsquerschnitte in Picobarn (partonisch, sobald Quarks beteiligt sind: keine Partonverteilungsfunktionen), Partialbreiten in GeV, Lebensdauern in Sekunden ($\hbar = 6{,}582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$) und Verzweigungsverhältnisse, sofern das Modell die Gesamtbreite angibt. Angegebene Resonanzbreiten gehen in die Propagatoren ein ($-iM\Gamma$ im Nenner); die Diagramme eines Prozesses werden stimmig summiert, mit ihren relativen Vorzeichen.

Konventionen

Metrik	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
Dirac-Matrizen	Weyl-Basis (chiral), wie bei ALOHA; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
Vertexregel	$i\times{}$(Term der Lagrangedichte, Felder entfernt), alle Impulse einlaufend, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
Propagatoren	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(Skalar)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(Fermion)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(Vektor)}$$ in Feynman-Eichung; in unitärer Eichung erhält der Vektor den Term $-p^\mu p^\nu/M^2$.
Standardmodell	Konventionen von FeynRules, Feynman–'t-Hooft-Eichung: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
Parameter	die des UFO sm: $\alpha^{-1} = 127{,}9$, $G_F = 1{,}16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91{,}1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$ abgeleitet
Farbe	$T^a = \lambda^a/2$, übliche $f^{abc}$, $\varepsilon_{ijk}$ für die Tripletts; über äußere Farbindizes wird summiert, über den Anfangszustand gemittelt (3 je Quark, 8 je Gluon)

Numerische Amplituden

Für einen gegebenen kinematischen Punkt ist jedes Diagramm ein Tensornetz: die Vertexregeln (numerisch mit den Impulsen der Beine ausgewertet), die Propagatoren und die Farbdeltas der inneren Linien. Das Netz wird über seine inneren Indizes in gieriger Reihenfolge kontrahiert (stets der Tensor, der die meisten Indizes mit dem bisherigen Ergebnis teilt), was große äußere Produkte vermeidet — die Vier-Gluon-Vertizes gewinnen dabei einen Faktor 25. Dieses Netz hängt nicht von den Helizitäten ab: es wird einmal berechnet und dann für jede Helizitätskonfiguration mit den äußeren Wellenfunktionen kontrahiert (Spinoren $u, v, \bar u, \bar v$ der Helizität $\pm\tfrac12$; Polarisationsvektoren $\varepsilon^\mu$ der Helizität $\pm1$, dazu $0$ für massive Bosonen). $\sum|\mathcal M|^2$ ist die Summe über diese Konfigurationen und über die äußeren Farben, geteilt durch die Spin- und Farbmultiplizität des Anfangszustands.

Diagramme, deren äußere Fermionen dieselben Rollen spielen (Zeile/Spalte), teilen sich ihre Wellenfunktionen: ihre Netze werden vor der Schleife über die Helizitäten summiert. Die Integrationen über Winkel oder Energie laufen auf allen Kernen.

Fermionen: Ketten, Vorzeichen, Majorana

Jede durchgehende Fermionlinie eines Diagramms bildet eine Kette, gelesen vom Zeilenspinor (auslaufendes $\bar u$ oder einlaufendes $\bar v$) zum Spaltenspinor (einlaufendes $u$ oder auslaufendes $v$). Das relative Vorzeichen zwischen Diagrammen ist die Parität der Permutation der äußeren Fermionen, dazu $(-1)$ je Fermionschleife.

Bei Majorana-Fermionen oder Kopplungen, die die Fermionzahl verletzen, hat eine Kette keinen „natürlichen“ Sinn mehr. TreeLevel folgt den Regeln von Denner, Eck, Hahn und Küblbeck (1992): jede Kette wird beliebig orientiert; ein gegen seine eigene Orientierung durchlaufener Vertex ergibt $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ ($\gamma^\mu$ wechselt das Vorzeichen, $1$, $\gamma^5$ und $\gamma^\mu\gamma^5$ nicht), ein rückwärts durchlaufener Propagator ergibt $S(-p)$, und die äußeren Spinoren hängen von der Stellung in der Kette und vom ein- oder auslaufenden Charakter ab — nicht davon, ob Teilchen oder Antiteilchen. Die Spinoren erfüllen exakt $v = C\bar u^{T}$; ohne diese Bedingung wären die Interferenzen zwischen unterschiedlich orientierten Diagrammen falsch. Das Ergebnis hängt nicht von der gewählten Orientierung ab, was die Testsuite prüft, indem sie den Startpunkt der Ketten systematisch umkehrt.

Phasenraum und Observablen

Prozess	Methode	Ergebnis
$2\to2$	$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$ im Schwerpunktsystem; $\sigma$ durch Gauß–Legendre-Quadratur in $\cos\theta$, Schnitt $|\cos\theta|\le c$ wahlweise	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; Durchlauf in $\sqrt s$
$1\to2$	geschlossene Formel $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	Dalitz-Integration (zwei invariante Massen), Quadratur	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	RAMBO-Monte-Carlo (gleichverteilte Punkte im massiven Phasenraum), Schnitte in Energie, Paarmasse und Winkel, statistischer Fehler	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

Identische Teilchen im Endzustand erhalten den Faktor $1/n!$; der Symmetriefaktor eines Diagramms ($1/|\mathrm{Aut}|$) wird an seinem Graphen berechnet. Umrechnung: $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}389379\ \mathrm{mb}$.

Symbolischer Kern

Derselbe Graph wird auch symbolisch behandelt: jede durch die komplexe Konjugation geschlossene Fermionkette wird zu einer Dirac-Spur, entwickelt in Skalarprodukte $p_i\cdot p_j$ und Massen ($\gamma^5$ über den $\varepsilon$-Tensor, der anschließend kontrahiert wird); die Polarisationssummen $-g^{\mu\nu}$ ($+\,p^\mu p^\nu/M^2$ für massive Bosonen) und die Farbfaktoren werden angewandt; das Ergebnis, eine nach Nennern geordnete Summe rationaler Brüche, wird in $s, t, u$ geschrieben — mit den gewünschten Ersetzungen (verschwindende Massen, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) — und in LaTeX dargestellt. Es stimmt bei allen geprüften Prozessen bis auf $10^{-8}$ mit der numerischen Rechnung überein — und es war dieser Kern, der einen Interferenzfehler in der numerischen Behandlung der Majorana-Fermionen aufdeckte und dann korrigieren ließ.

Validierungen

Was geprüft wird	Ergebnis
Regeln des Standardmodells gegen das UFO sm von MadGraph	129 von 129 Vertizes identisch, komplexe CKM eingeschlossen
QED: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, Bhabha, Compton, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	Lehrbuchformeln (Peskin & Schroeder); Bhabha in drei Termen
$e^+e^-\to W^+W^-$	Eichkompensation $\gamma + Z + \nu$; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19{,}2\ \mathrm{pb}$
Vorwärts-Rückwärts-Asymmetrie auf der Z-Resonanz	der aus $g_V$, $g_A$ erwartete Wert
Breiten $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	geschlossene Formeln, Verzweigungsverhältnisse
Myon: $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7{,}79\ \mathrm{eV}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10{,}6\ \%$, $0{,}70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0{,}54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8{,}9\ \mathrm{keV}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ auf $8\ \%$; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \mathrm s$	Messwerte, auf Baumniveau
RAMBO-Monte-Carlo	exakte Phasenraumvolumina; $2\to2$ und Myonzerfall per MC reproduziert
Majorana: $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$ für masseloses $N$; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	Unabhängigkeit vom Fluss, geschlossene Formeln
Importiertes MSSM_SLHA2: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	269 fb bei SPS1a (Literatur: 250–300 fb); symbolisch = numerisch bei $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ und $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; Äquivalenz mit einem unabhängigen konjugierten Feld (exakter Faktor 2 der Chiralitäten)
Symbolisch gegen numerisch	$10^{-8}$ bei einem Dutzend Prozessen, SM, MSSM und SU(5)

Die Testsuite des Kerns (über hundert Fälle) spielt all dies bei jeder Änderung erneut durch.

Bekannte Grenzen

• Nur Baumniveau: keine Schleifen, keine Strahlungskorrekturen, kein Laufen der Kopplungen. Faddeev–Popov-Geister werden nicht hergeleitet (auf Baumniveau überflüssig).
• Keine Partonverteilungsfunktionen und keine Hadronisierung: Prozesse mit Quarks sind partonisch; das Modell Hadrons bietet eine effektive Beschreibung einiger leichter Hadronen.
• Keine Vierfermion-Kontaktvertizes (jeder fermionische Vertex hat genau zwei Fermionen).
• Die Breiten gehen ohne komplexes Subtraktionsschema in die Propagatoren ein; abseits der Resonanz ist die Wirkung vernachlässigbar.
• Das eingebaute SU(5)-Modell enthält die fermionischen Kopplungen von X und Y, nicht deren Eich-Selbstkopplungen.
• Monte Carlo: die RAMBO-Stichprobe ist gleichverteilt; nahe den Polen (weiche Photonen) muss die Punktzahl steigen — dafür sind die Schnitte da.