编写或导入一套理论

TreeLevel 没有背下任何一条费曼规则：它从您给出的拉格朗日量把规则推导出来。给出的方式有两种——一个用极小语言写成的 .feyn 文件，或者一个由 FeynRules 生成的 UFO 文件夹。

原理

先声明场（自旋、质量、宽度、电荷、色），再声明参数，然后逐项写出相互作用拉格朗日量。动能项不必写：传播子由声明和所选规范给出。凡含三个或更多场的项都成为一个顶点：

$$V = i\times\sum_{\text{外腿}\,\leftrightarrow\,\text{场 的各种配对}}\bigl(\text{去掉场之后的该项，}\partial_\mu\to -ip_\mu\text{，动量一律取流入}\bigr)$$

对「把外腿接到场上」的各种方式求和，自然给出组合因子（$-\lambda/4!\,\phi^4$ 给出 $-i\lambda$）、含全同玻色子顶点的对称化，以及在马约拉纳费米子或带 $C$ 的耦合中出现的 Denner 组合 $\Gamma + \Gamma'$。

.feyn 语言

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # 参数，数值可省略
cparam V = 0.97                     # 复参数；conj(V) 是它的共轭

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # 宽度进入传播子
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # 八重态：胶子
field N  : majorana, mass MN          # 自身即其反粒子
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # 结构相同的一组场
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # 按族编号的参数
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # 宏；其哑指标每次使用时都会改名

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → 顶点 −iλ

• 指标。同一项中重复出现的指标名会被缩并。场携带指标的次序是：旋量指标在前、色指标在后（u[a,k]）；洛伦兹指标在前、伴随色指标在后（G[mu,c]）。指标的类型（洛伦兹、旋量、三重态、八重态）由它所处的位置决定。
• 共轭。X~ 是场 X 的共轭：e~ 即 $\bar e$；若 W 湮灭一个 $W^+$，则 W~ 湮灭一个 $W^-$。对自共轭场（$\gamma, Z, h$、马约拉纳）而言，波浪号不起作用。
• 内置张量。g（度规）、delta、gamma、gamma5、PL、PR、C（电荷共轭）、T（盖尔曼矩阵／2）、f（结构常数）、eps——Levi-Civita，洛伦兹情形四个指标，色情形三个指标。
• 导数与常量。del[mu] X；I；sqrt2；参数和数字可用幂次 ^2（场则重复书写：h h h h）；conj(...)。
• 费米子。双线性式按自然次序书写，$\bar\psi\,\Gamma\,\chi$（「行」场在前，「列」场在后）。majorana 声明一个自共轭的自旋 $\tfrac12$ 场：$\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ 给出 $2\gamma^\mu\gamma^5$，而 $\bar N\gamma^\mu N$ 按理应当为零，确实为零。
• 约定。顶点 $= i\times$ 该项，动量取流入，del[mu] → -I p[mu]。内置的标准模型遵循 FeynRules 的约定（$D = \partial - igTA$，$\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$，费曼规范）；它的 129 个顶点与 MadGraph 的 UFO sm 完全一致。

语法错误、指标错误（同一名字既当旋量又当色指标）或结构错误（矩阵 C 没有连接两个费米子场）都会被指出——以英文给出，附行号，显示在「理论」标签页中。

例子：给标准模型加一个 Z′

1. 在调色板里选模型 StandardModel，点复制按钮。新模型「StandardModel 副本」处于选中状态；把它改名为 SM-Zprime。
2. 理论标签页。在参数和场的下面添加：

   param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
   field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
   # 与带电轻子的普适矢量耦合
   L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

3. 应用。Z′ 出现在调色板中，顶点列表多出三条。
4. 画出 $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$，然后生成：三张图（$\gamma, Z, Z'$）。把 $\sigma$ 从 200 到 5 000 GeV 以对数刻度作图：3 TeV 处的共振宽度正是您填入的那个值。若想让宽度自洽，画 $Z'\to e^+e^-$，在「计算」标签页读出 $\Gamma$，再把它（× 道数）填回 WZp。

破坏费米子数的耦合

双夸克、轻夸克、大统一理论中的 X 与 Y 玻色子、狄拉克场上的马约拉纳项：这类耦合把「同向」的两个场——两个 $\psi$ 或两个 $\bar\psi$——用电荷共轭矩阵 $C = i\gamma^2\gamma^0$（$C^{T} = -C$，$C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$）连起来：

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (上一项的厄米共轭)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# 双夸克：色 ε，同一个场出现两次 → 规则 Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel 把 $C$ 吸收进顶点规则：规则就是连接「行」腿（$\psi$ 或 $\bar\psi$）与「列」腿的 $\Gamma$，而承担共轭的是费米子流——按 Denner、Eck、Hahn 与 Küblbeck 的办法逐链定向：逆着流向穿过一个顶点时取 $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$，逆向经过的传播子取 $S(-p)$，外旋量 $u, v, \bar u, \bar v$ 由它在链中的位置决定，而不由粒子／反粒子决定。结果与所选定向无关；测试在每一个过程上都核验这一点。

内核能重现、并用作哨兵的两个恒等式：$\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$（X 的双夸克耦合同时接上两种手征，因而 $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$），以及轴矢双夸克耦合 $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ 恒等于零，正如马约拉纳粒子的矢量耦合一样。

导入 UFO

UFO 格式（Universal FeynRules Output）就是 FeynRules 为 MadGraph 及其他生成器产生的那个 Python 文件夹：particles.py、parameters.py、couplings.py、lorentz.py、vertices.py……TreeLevel 直接读取它，不需要 Python：一个小巧的声明式 Python 读取器求出内部参数（cmath 函数、混合矩阵、复数表达式），把自共轭费米子识别为马约拉纳，并把每一种洛伦兹结构和色结构翻译成一条规则。

1. 准备一个 UFO 文件夹：取自 MadGraph 安装目录（models/sm、models/MSSM_SLHA2……），或取自 FeynRules 的模型库。
2. 调色板 › 模型 › 📁 导入一个 UFO 文件夹。导入只需不到一秒；报告会列出场、顶点、参数，若有略过的顶点也会说明原因。
3. 模型出现在我的模型中，可直接用于调色板、图的生成以及数值与符号计算。「理论」标签页会显示它的导入说明。

所采用的约定以 MadGraph 的 UFO sm 为准校定（129/129 个顶点与推导出的标准模型完全一致）：粒子与动量列表一律取出射，Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$，其中 $i$ 在 $\bar\psi$ 一侧，ProjM $= P_L$，T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$，色 Epsilon 取三个指标。MSSM_SLHA2 可完整导入（50 个场、1 572 个参数、822 个顶点）；其中的中性微子与胶微子按马约拉纳处理。

FeynRules、.fr、UFO、.feyn：各自做什么

文件	性质	TreeLevel 如何处理
.fr	FeynRules 的 Mathematica 源文件：以 Mathematica 记号写出的场、参数与拉格朗日量。	不直接读取（那需要 Mathematica）。由 FeynRules 导出为 UFO。
UFO 文件夹	已经推导好的费曼规则，写成声明式 Python。	直接导入。
.feyn	TreeLevel 的语言：与 .fr 同样的成分，但更简洁。	运行时推导；可在应用内编辑。
.feyndiag	TreeLevel 文档。	理论 + 某个过程的诸图。

把 .fr 改写成 .feyn 目前靠手工，对规模合理的模型通常一小时即可：约定（$D_\mu$、投影算符、归一化）都是一样的。对于大型模型，推荐的路线仍是 .fr → UFO → 导入。