Scrivere o importare una teoria

TreeLevel non conosce a memoria una sola regola di Feynman: le deduce dalla lagrangiana che gli date. Due modi per dargliela — un file .feyn in un linguaggio minuscolo, oppure una cartella UFO prodotta da FeynRules.

Il principio

Si dichiarano i campi (spin, massa, larghezza, carica, colore) e i parametri, poi si scrive la lagrangiana d'interazione, termine per termine. I termini cinetici non si scrivono: i propagatori seguono dalle dichiarazioni e dal gauge scelto. Ogni termine con tre campi o più diventa un vertice:

$V = i\times\sum_{\text{assegnazioni gambe}\,\leftrightarrow\,\text{campi}}\bigl(\text{termine senza i suoi campi},\ \partial_\mu\to -ip_\mu,\ \text{impulsi tutti entranti}\bigr)$

La somma sui modi di attaccare le gambe ai campi produce i fattori combinatori ( $-\lambda/4!\,\phi^4$ dà $-i\lambda$ ), le simmetrizzazioni dei vertici con bosoni identici e, per i fermioni di Majorana o gli accoppiamenti con $C$ , la combinazione $\Gamma + \Gamma'$ di Denner.

Il linguaggio `.feyn`

model QED
gauge feynman                       # feynman | unitary

param ee = 0.313451, Me = 0.000511  # parametri, valore numerico facoltativo
cparam V = 0.97                     # parametro complesso; conj(V) è il suo coniugato

field e  : dirac, mass Me, charge -1, pdg 11, label "e"
field mu : dirac, mass MMU, charge -1, pdg 13, label "μ"
field A  : vector, pdg 22, label "γ"
field Z  : vector, mass MZ, width WZ  # la larghezza entra nel propagatore
field u  : dirac, mass MU, charge 2/3, color 3
field G  : vector, color 8            # ottetto: gluone
field N  : majorana, mass MN          # la propria antiparticella
field h  : scalar, mass MH
field Gp : scalar, mass MW, charge 1, goldstone

family lep = { e, mu }                # campi della stessa struttura
array  Q[lep] = { -1, -1 }            # parametri indicizzati per famiglia
define W3[mu] = cw Z[mu] + sw A[mu]   # macro; i suoi indici muti vengono rinominati a ogni uso

L += sum(i in lep) ee Q[i] lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] A[nu]
L += gs u~[a,k] gamma[nu][a,b] T[c,k,l] u[b,l] G[nu,c]
L += -gs f[a,b,c] (del[mu] G[nu,a]) G[mu,b] G[nu,c]
L += -lam/24 h h h h                 # −λ/4! φ⁴ → vertice −iλ

Indici. Un nome di indice ripetuto in un termine viene contratto. I campi portano i loro indici in quest'ordine: spinoriale, poi colore (u[a,k]); Lorentz, poi colore aggiunto (G[mu,c]). Il tipo di un indice (Lorentz, spinoriale, tripletto, ottetto) si deduce dalla sua posizione.
Coniugazione. X~ è il coniugato del campo X: e~ è $\bar e$ , W~ distrugge una $W^-$ se W distrugge una $W^+$ . Per un campo autoconiugato ( $\gamma, Z, h$ , Majorana) la tilde non ha effetto.
Tensori predefiniti. g (metrica), delta, gamma, gamma5, PL, PR, C (coniugazione di carica), T (Gell-Mann/2), f (costanti di struttura), eps — Levi-Civita, con quattro indici per Lorentz, con tre per il colore.
Derivate e costanti. del[mu] X; I; sqrt2; esponenti ^2 su parametri e numeri (un campo si ripete: h h h h); conj(...).
Fermioni. Scrivete le forme bilineari nell'ordine naturale, $\bar\psi\,\Gamma\,\chi$ (il campo «riga» prima del campo «colonna»). majorana dichiara un campo autoconiugato di spin $\tfrac12$ : $\bar N\gamma^\mu\gamma^5N$ dà $2\gamma^\mu\gamma^5$ , e $\bar N\gamma^\mu N$ si annulla, come deve.
Convenzioni. Vertice $= i\times$ termine, impulsi entranti, del[mu] → -I p[mu]. Il Modello Standard integrato segue le convenzioni di FeynRules ( $D = \partial - igTA$ , $\Phi = \bigl(-iG^+,\ (v+h+iG^0)/\sqrt2\bigr)$ , gauge di Feynman); i suoi 129 vertici coincidono con quelli dell'UFO sm di MadGraph.

Gli errori di sintassi, di indici (uno stesso nome usato come spinoriale e come colore) o di struttura (una matrice C che non unisce due campi fermionici) vengono segnalati — in inglese, con il numero di riga, nella scheda Teoria.

Esempio: aggiungere una Z′ al Modello Standard

Nella tavolozza, modello StandardModel, pulsante Duplica. Il nuovo modello «StandardModel copia» è selezionato; rinominatelo SM-Zprime.

Scheda Teoria. Aggiungete, sotto i parametri e i campi:

param gZp = 0.3, MZp = 3000, WZp = 30
field Zp : vector, mass MZp, width WZp, label "Z′"
# accoppiamento vettoriale universale ai leptoni carichi
L += sum(i in lep) gZp lep[i]~[a] gamma[nu][a,b] lep[i][b] Zp[nu]

Applica. La Z′ compare nella tavolozza, l'elenco dei vertici conta tre voci in più.
Disegnate $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$ , poi Genera: tre diagrammi ( $\gamma, Z, Z'$ ). Tracciate $\sigma$ da 200 a 5 000 GeV in scala logaritmica: la risonanza a 3 TeV ha esattamente la larghezza che avete indicato. Per una larghezza coerente, disegnate $Z'\to e^+e^-$ , leggete $\Gamma$ nella scheda Calcolo e inseritela (× il numero di canali) in WZp.

Accoppiamenti che violano il numero fermionico

Diquark, leptoquark, bosoni X e Y di una grande unificazione, termini di Majorana con campi di Dirac: questi accoppiamenti uniscono due campi «nello stesso verso» — due $\psi$ o due $\bar\psi$ — tramite la matrice di coniugazione di carica $C = i\gamma^2\gamma^0$ ( $C^{T} = -C$ , $C\gamma^{\mu T}C^{-1} = -\gamma^\mu$ ):

# ψᵀ C Γ χ  =  ψ̄ᶜ Γ χ           (ψᶜ = C ψ̄ᵀ, ψ̄ᶜ = ψᵀ C)
L += -g5/sqrt2 d[a,k] C[a,b] gamma[mu][b,c] PL[c,d] e[d] X[mu,k]
# ψ̄ Γ C χ̄ᵀ  =  ψ̄ Γ χᶜ          (il coniugato hermitiano del precedente)
L += -g5/sqrt2 e~[a] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] d~[d,k] X~[mu,k]
# diquark: ε di colore, due volte lo stesso campo → regola Γ + Γ′
L += -g5/sqrt2 eps[k,l,m] u~[a,l] gamma[mu][a,b] PL[b,c] C[c,d] u~[d,m] X[mu,k]

TreeLevel assorbe $C$ nella regola del vertice: la regola è $\Gamma$ tra la gamba «riga» ( $\psi$ o $\bar\psi$ ) e la gamba «colonna», ed è il flusso fermionico — orientato catena per catena secondo Denner, Eck, Hahn e Küblbeck — a portare la coniugazione: $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ quando un vertice viene percorso a ritroso, $S(-p)$ per un propagatore percorso a ritroso, spinori $u, v, \bar u, \bar v$ secondo la posizione nella catena e non secondo particella/antiparticella. Il risultato non dipende dall'orientazione scelta; i test lo verificano su ogni processo.

Due identità che il nucleo riproduce e che fanno da sentinella: $\varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_LC\bar u_m^{T} = \varepsilon_{klm}\,\bar u_l\gamma^\mu P_RC\bar u_m^{T}$ (il diquark della X si accoppia a entrambe le chiralità, da cui $\Gamma(X\to uu) = \Gamma(X\to e^+\bar d)$ ), e l'accoppiamento diquark assiale $\varepsilon\,\bar u\gamma^\mu\gamma^5C\bar u^{T}$ si annulla identicamente, come l'accoppiamento vettoriale di un Majorana.

Importare un UFO

Il formato UFO (Universal FeynRules Output) è la cartella Python che FeynRules produce per MadGraph e gli altri generatori: particles.py, parameters.py, couplings.py, lorentz.py, vertices.py… TreeLevel la legge direttamente, senza Python: un piccolo lettore di Python dichiarativo valuta i parametri interni (funzioni cmath, matrici di mescolamento, espressioni complesse), riconosce come Majorana i fermioni autoconiugati e traduce ogni struttura di Lorentz e di colore in una regola.

Procuratevi una cartella UFO: da un'installazione di MadGraph (models/sm, models/MSSM_SLHA2…) o dalla base di modelli di FeynRules.
Tavolozza › Modello › 📁 Importa una cartella UFO. L'importazione richiede una frazione di secondo; il resoconto indica campi, vertici, parametri e, se ve ne sono, i vertici ignorati e il perché.
Il modello si trova in I miei modelli, pronto per la tavolozza, la generazione e i calcoli numerici e simbolici. La scheda Teoria ne mostra le note d'importazione.

Convenzioni applicate, fissate sull'UFO sm di MadGraph (129/129 vertici identici al Modello Standard dedotto): liste di particelle e impulsi tutti uscenti, Gamma(mu,i,j) $= (\gamma^\mu)_{ij}$ con $i$ dal lato $\bar\psi$ , ProjM $= P_L$ , T(a,i,j) $= (T^a)_{ij}$ , Epsilon di colore con tre indici. MSSM_SLHA2 viene importato per intero (50 campi, 1 572 parametri, 822 vertici); i suoi neutralini e il suo gluino sono trattati come Majorana.

Un modello importato conserva le sue regole così come sono: non ha una lagrangiana modificabile in TreeLevel. Le strutture di Lorentz a quattro fermioni (contatto) e i vertici con C nell'UFO non sono ancora tradotti; compaiono nelle note d'importazione.

FeynRules, `.fr`, UFO, `.feyn`: chi fa che cosa

File	Natura	Che cosa ne fa TreeLevel
`.fr`	Sorgente Mathematica di FeynRules: campi, parametri, lagrangiana in notazione Mathematica.	Non viene letto direttamente (servirebbe Mathematica). FeynRules lo esporta in UFO.
cartella UFO	Regole di Feynman già dedotte, in Python dichiarativo.	Importata direttamente.
`.feyn`	Il linguaggio di TreeLevel: gli stessi ingredienti di un `.fr`, in forma più concisa.	Dedotto all'esecuzione; modificabile nell'app.
`.feyndiag`	Documento TreeLevel.	Teoria + diagrammi di un processo.

Trascrivere un .fr in un .feyn si fa oggi a mano ed è spesso questione di un'ora per un modello di dimensioni ragionevoli: le convenzioni ( $D_\mu$ , proiettori, normalizzazioni) sono le stesse. Per un modello grande, la via consigliata resta .fr → UFO → importazione.