Tutoriales

Cuatro recorridos, del primer diagrama a la física más allá del Modelo estándar. Cada uno lleva unos diez minutos; las cifras citadas son las que muestra TreeLevel.

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$: un primer cálculo y luego el pico del Z

1. Documento nuevo (⌘NCtrl Nbotón Crear documento del explorador). En la paleta está seleccionado el modelo StandardModel; deje el sentido del tiempo en tiempo →.
2. Herramienta Vértice: haga clic dos veces en el lienzo, a la izquierda y a la derecha, para poner dos vértices.
3. Herramienta Línea, partícula $\gamma$: arrastre del vértice izquierdo al derecho. Es el propagador del fotón.
4. Partícula $e^-/e^+$: arrastre desde el vacío, abajo a la izquierda, hacia el vértice izquierdo: la paleta anuncia «entra un $e^-$». Repita desde arriba a la izquierda: la flecha del flujo fermiónico remontará el tiempo y la pata se leerá como un $e^+$ entrante. (El orden en que trace las dos patas da igual: lo que cuenta es el sentido de la flecha.)
5. Partícula $\mu^-/\mu^+$: arrastre desde el vértice derecho hacia el vacío, arriba a la derecha ($\mu^-$ saliente), y luego desde el vacío abajo a la derecha hacia el vértice (la flecha vuelve al vértice: $\mu^+$ saliente).
6. Mire la pestaña Análisis: Proceso: $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, Diagrama coherente. Si el análisis señala un vértice inexistente, una de las patas se lee al revés: selecciónela y marque Antipartícula, o mueva su extremo al otro lado del vértice.
7. Despliegue Reglas de Feynman y amplitud: el vértice $-ie\gamma^\mu$ dos veces, el propagador $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, los espinores $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ y $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$.
8. Pestaña Cálculo: $\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$, Calcular. $\sigma = 62{,}3\ \mathrm{pb}$. Compruébelo a mano: $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ con $\alpha = 1/127{,}9$ (el valor del modelo en $M_Z$) y $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3{,}894\times10^8\ \mathrm{pb}$ da $62{,}3\ \mathrm{pb}$.
9. Vuelva a la paleta y pulse Generar › Añadir los diagramas que faltan: aparece el diagrama con el Z, y también los intercambios de h y de $G^0$, proporcionales a $m_e$ y despreciables (la opción Sin intercambio de escalares del menú Generar los evita). El cálculo pasa a ser el de la suma.
10. Trazado en función de la energía: de 40 a 200 GeV, 300 puntos, escala logarítmica, Trazar. El pico del Z culmina en $1\,979\ \mathrm{pb}$ en $\sqrt s = M_Z = 91{,}19\ \mathrm{GeV}$, con la anchura $\Gamma_Z = 2{,}495\ \mathrm{GeV}$ declarada en el modelo. La curva pasa por un mínimo hacia $70\ \mathrm{GeV}$ ($25\ \mathrm{pb}$) antes de subir hacia la resonancia; la interferencia $\gamma$–Z, proporcional a los pequeños acoplamientos vectoriales $g_V$, queda discreta en la $\sigma$ total: donde se ve es en la asimetría adelante-atrás.

2. La vida media del muón

1. Documento nuevo, modelo StandardModel. Ponga dos vértices.
2. Línea $W^+/W^-$ entre los dos vértices: un W virtual.
3. Partícula $\mu^-/\mu^+$: arrastre desde el vacío, a la izquierda, hacia el primer vértice ($\mu^-$ entrante). Partícula $\nu_\mu$: arrastre del primer vértice al vacío ($\nu_\mu$ saliente).
4. En el segundo vértice: $e^-$ saliente (del vértice al vacío) y $\bar\nu_e$ saliente: trace la pata del vacío hacia el vértice para que la flecha remonte el tiempo.
5. Compruebe en Análisis: $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, coherente. Un error clásico es trazar el $\bar\nu_e$ como partícula: el vértice ve e W~ que se pide no existe, y el inspector enumera los vértices vecinos que sí existen (ve~ e W, e~ ve W~); dicho de otro modo, hay una pata que invertir.
6. Pestaña Cálculo: la desintegración es a tres cuerpos, el espacio de fases se integra exactamente (Dalitz). $\Gamma = 3{,}007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$, $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$, $T_{1/2} = 1{,}52\ \mu\mathrm s$. El valor medido es $2{,}197\ \mu\mathrm s$; la diferencia se debe a las correcciones radiativas, ausentes a nivel árbol.

Variante: en el modelo Hadrons, dibuje $n\to pe^-\bar\nu_e$ por intercambio de W ($\tau = 946\ \mathrm s$ a nivel árbol con $g_A = 1{,}27$, frente a los $879\ \mathrm s$ medidos) o $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, que solo tiene un vértice de contacto.

3. $e^+e^-\to W^+W^-$: generar, sumar y ver la cancelación de gauge

1. Documento nuevo. Ponga dos vértices y trace las patas externas: $e^-$ y $e^+$ entrantes a la izquierda, $W^-$ y $W^+$ salientes a la derecha (partícula $W^+/W^-$: trazada del vértice al vacío, la línea es un $W^+$ saliente; del vacío al vértice, es decir contra el tiempo, un $W^-$ saliente). No dibuje todavía ninguna línea interna.
2. Generar › Sustituir por todos los diagramas a nivel árbol: cuatro diagramas — intercambio de $\gamma$, de Z, de h (despreciable, $\propto m_e$) y de $\nu_e$ en canal $t$.
3. Pestaña Cálculo, $\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 19{,}2\ \mathrm{pb}$, como en el LEP ($17\ \mathrm{pb}$ medidos, correcciones radiativas incluidas).
4. Elimine el diagrama del neutrino (selecciónelo en la lista, −) y recalcule: $18{,}1\ \mathrm{pb}$. Casi nada cambia… a $200\ \mathrm{GeV}$.
5. Trazado en función de la energía, de 170 a 1 000 GeV, escala logarítmica: sin el neutrino, $\sigma$ crece ($118\ \mathrm{pb}$ a $500\ \mathrm{GeV}$, $385\ \mathrm{pb}$ a $1\ \mathrm{TeV}$); con los cuatro diagramas decrece como debe ($7{,}1\ \mathrm{pb}$ a $500\ \mathrm{GeV}$, $2{,}4\ \mathrm{pb}$ a $1\ \mathrm{TeV}$). Es la cancelación entre los diagramas de gauge, y la razón de ser de los acoplamientos de tres bosones del Modelo estándar.

4. Más allá del Modelo estándar: SU(5) y el MSSM

SU(5): un bosón que convierte quarks en leptones

1. Elija el modelo SU5. La paleta gana dos bosones, X (carga $4/3$) e Y ($1/3$), tripletes de color, de masa $10^{15}\ \mathrm{GeV}$.
2. Dibuje $X\to uu$: un vértice, X entrante, dos u salientes. Análisis: coherente, con el factor de color $\varepsilon_{abc}$ en la regla; un vértice que viola el número bariónico.
3. Cálculo: $\Gamma(X\to uu) = 4{,}17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$. Dibuje $X\to e^+\bar d$: la misma anchura. Las razones de desintegración $\tfrac12/\tfrac12$ son las de Georgi–Glashow; para Y encontrará $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$, y $\Gamma_Y = \Gamma_X$, como corresponde a dos miembros de un mismo doblete.
4. Dibuje $uu\to e^+\bar d$ y genere: tres diagramas (X en canal $s$, Y en canales $t$ y $u$). A $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$, $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$; la pestaña Análisis da la expresión simbólica completa en $s, t, M_X, M_Y$.

El archivo del modelo (pestaña Teoría) muestra cómo se escriben esos acoplamientos: bilineales $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ con la matriz de conjugación de carga $C$. Véase la página Teorías.

MSSM: importar un UFO

1. Descargue la carpeta UFO MSSM_SLHA2 de la base de modelos de FeynRules (o cualquier modelo UFO que venga con MadGraph). En la paleta, botón 📁 Importar una carpeta UFO, elija la carpeta.
2. Un segundo después: «UFO importado: 50 campos, 822 vértices». El modelo aparece en Mis modelos, y la paleta enumera neutralinos, charginos, squarks, sleptones y el gluino, con sus códigos PDG (1000022 para $\tilde\chi^0_1$…).
3. Dibuje $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ (dos patas n1 salientes; el neutralino es de Majorana, no hay antipartícula), y luego Generar: intercambio de Z en canal $s$, de $\tilde e_L$ y $\tilde e_R$ en canales $t$ y $u$.
4. Cálculo a $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$ en el punto SPS1a, dentro del rango de los estudios para un colisionador lineal. Los papeles de fila y columna de los espinores externos cambian de un diagrama a otro: TreeLevel aplica las reglas de flujo fermiónico de Denner, y el resultado no depende de la orientación elegida.