Física y métodos

Qué calcula exactamente TreeLevel, cómo lo hace y contra qué se ha comprobado.

Alcance

TreeLevel calcula amplitudes a nivel árbol (sin bucles), para estados inicial y final de partículas elementales o efectivas del modelo: dispersiones $2\to n$ y desintegraciones $1\to n$. Los resultados son secciones eficaces en picobarns (partónicas cuando intervienen quarks: sin funciones de distribución de partones), anchuras parciales en GeV, vidas medias en segundos ($\hbar = 6{,}582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$) y razones de desintegración cuando el modelo declara la anchura total. Las anchuras de resonancia declaradas entran en los propagadores ($-iM\Gamma$ en el denominador); los diagramas de un mismo proceso se suman de forma coherente, con sus signos relativos.

Convenios

Métrica	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
Matrices de Dirac	base de Weyl (quiral), como ALOHA; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
Regla de vértice	$i\times{}$(término del lagrangiano, quitados los campos), todos los momentos entrantes, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
Propagadores	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(escalar)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(fermión)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(vector)}$$ en gauge de Feynman; en gauge unitario, el vector recibe el término $-p^\mu p^\nu/M^2$.
Modelo estándar	convenios de FeynRules, gauge de Feynman–'t Hooft: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
Parámetros	los del UFO sm: $\alpha^{-1} = 127{,}9$, $G_F = 1{,}16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91{,}1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$ derivada
Color	$T^a = \lambda^a/2$, $f^{abc}$ estándar, $\varepsilon_{ijk}$ para los tripletes; los índices de color externos se suman y el estado inicial se promedia (3 por quark, 8 por gluon)

Amplitudes numéricas

Para un punto cinemático dado, cada diagrama es una red de tensores: las reglas de los vértices (evaluadas numéricamente con los momentos de las patas), los propagadores y las deltas de color de las líneas internas. La red se contrae sobre sus índices internos en un orden voraz (siempre el tensor que comparte más índices con el resultado en curso), lo que evita formar grandes productos exteriores: los vértices de cuatro gluones ganan ahí un factor 25. Esta red no depende de las helicidades: se calcula una vez y luego se contrae con las funciones de onda externas (espinores $u, v, \bar u, \bar v$ de helicidad $\pm\tfrac12$; vectores de polarización $\varepsilon^\mu$ de helicidad $\pm1$, y $0$ para los bosones masivos) en cada configuración de helicidades. $\sum|\mathcal M|^2$ es la suma sobre esas configuraciones y sobre los colores externos, dividida por la multiplicidad de espín y de color del estado inicial.

Los diagramas cuyos fermiones externos desempeñan los mismos papeles (fila/columna) comparten sus funciones de onda: sus redes se suman antes del bucle sobre helicidades. Las integraciones en ángulo o en energía se reparten entre todos los núcleos.

Fermiones: cadenas, signos, Majorana

Cada línea fermiónica continua de un diagrama forma una cadena leída del espinor fila ($\bar u$ saliente o $\bar v$ entrante) al espinor columna ($u$ entrante o $v$ saliente). El signo relativo entre diagramas es la paridad de la permutación de los fermiones externos, y $(-1)$ por cada bucle fermiónico.

Con fermiones de Majorana o con acoplamientos que violan el número fermiónico, una cadena deja de tener un sentido «natural». TreeLevel sigue las reglas de Denner, Eck, Hahn y Küblbeck (1992): se orienta cada cadena arbitrariamente; un vértice recorrido en contra de su propia orientación da $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ ($\gamma^\mu$ cambia de signo; $1$, $\gamma^5$ y $\gamma^\mu\gamma^5$ no), un propagador recorrido al revés da $S(-p)$, y los espinores externos dependen de la posición en la cadena y del carácter entrante o saliente, no de si es partícula o antipartícula. Los espinores cumplen $v = C\bar u^{T}$ exactamente, condición sin la cual las interferencias entre diagramas de orientaciones distintas son falsas. El resultado no depende de la orientación elegida, y la suite de pruebas lo comprueba invirtiendo sistemáticamente el punto de partida de las cadenas.

Espacio de fases y observables

Proceso	Método	Resultado
$2\to2$	$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$ en el centro de masas; $\sigma$ por cuadratura de Gauss–Legendre en $\cos\theta$, corte $|\cos\theta|\le c$ opcional	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; barrido en $\sqrt s$
$1\to2$	fórmula cerrada $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	integración de Dalitz (dos masas invariantes), cuadratura	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	Monte Carlo RAMBO (puntos uniformes en el espacio de fases masivo), cortes en energía, masa de par y ángulo, error estadístico	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

Las partículas idénticas en el estado final reciben el factor $1/n!$; el factor de simetría de un diagrama ($1/|\mathrm{Aut}|$) se calcula sobre su grafo. Conversión: $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}389379\ \mathrm{mb}$.

Motor simbólico

El mismo grafo se trata también de forma simbólica: cada cadena fermiónica cerrada por la conjugación compleja se convierte en una traza de Dirac, desarrollada en productos escalares $p_i\cdot p_j$ y masas ($\gamma^5$ mediante el tensor $\varepsilon$, contraído después); se aplican las sumas de polarización $-g^{\mu\nu}$ ($+\,p^\mu p^\nu/M^2$ para los bosones masivos) y los factores de color; el resultado, una suma de fracciones racionales agrupadas por denominador, se escribe en $s, t, u$ con las sustituciones pedidas (masas nulas, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) y se presenta en LaTeX. Coincide con el cálculo numérico hasta $10^{-8}$ en todos los procesos probados; fue precisamente él quien permitió detectar, y luego corregir, un error de interferencia en el tratamiento numérico de los Majorana.

Validaciones

Lo que se comprueba	Resultado
Reglas del Modelo estándar frente al UFO sm de MadGraph	129 vértices de 129 idénticos, CKM compleja incluida
QED: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, Bhabha, Compton, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	fórmulas de los manuales (Peskin & Schroeder); Bhabha en tres términos
$e^+e^-\to W^+W^-$	cancelación de gauge $\gamma + Z + \nu$; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19{,}2\ \mathrm{pb}$
Asimetría adelante-atrás en el pico del Z	el valor esperado de los acoplamientos $g_V$, $g_A$
Anchuras $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	fórmulas cerradas, razones de desintegración
Muón: $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7{,}79\ \mathrm{eV}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10{,}6\ \%$, $0{,}70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0{,}54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8{,}9\ \mathrm{keV}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ al $8\ \%$; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \mathrm s$	medidas, a nivel árbol
Monte Carlo RAMBO	volúmenes de espacio de fases exactos; $2\to2$ y desintegración del muón recuperados por MC
Majorana: $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$ para $N$ sin masa; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	independencia del flujo, fórmulas cerradas
MSSM_SLHA2 importado: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	269 fb en SPS1a (literatura: 250–300 fb); simbólico = numérico en $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ y $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; equivalencia con un campo conjugado independiente (factor 2 exacto de las quiralidades)
Simbólico frente a numérico	$10^{-8}$ en una docena de procesos, MS, MSSM y SU(5)

La suite de pruebas del motor (más de cien casos) vuelve a ejecutar todo esto en cada modificación.

Límites conocidos

• Solo árbol: sin bucles, sin correcciones radiativas, sin evolución de los acoplamientos. Los fantasmas de Faddeev–Popov no se derivan (innecesarios a nivel árbol).
• Sin funciones de distribución de partones ni hadronización: los procesos con quarks son partónicos; el modelo Hadrons ofrece una descripción efectiva de algunos hadrones ligeros.
• Sin vértices de contacto de cuatro fermiones (cada vértice fermiónico tiene exactamente dos fermiones).
• Las anchuras entran en los propagadores sin esquema de sustracción complejo; fuera de la resonancia el efecto es despreciable.
• El modelo SU(5) integrado incluye los acoplamientos fermiónicos de X e Y, no sus autoacoplamientos de gauge.
• Monte Carlo: el muestreo RAMBO es uniforme; cerca de los polos (fotones blandos) hay que aumentar el número de puntos, y para eso están los cortes.