अभ्यास

चार रास्ते — पहले आरेख से लेकर मानक मॉडल के परे की भौतिकी तक। हर एक में दस मिनट के आसपास लगते हैं; यहाँ दिए गए अंक वही हैं जो TreeLevel दिखाता है।

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$: पहली गणना, फिर Z शिखर

1. नया दस्तावेज़ (⌘NCtrl Nब्राउज़र का दस्तावेज़ बनाएँ बटन)। पट्टिका में मॉडल StandardModel पहले से चुना है; समय की दिशा समय → पर ही रहने दीजिए।
2. शीर्ष औज़ार: कैनवास पर बाईं और दाईं ओर एक-एक बार क्लिक कर दो शीर्ष रखिए।
3. रेखा औज़ार, कण $\gamma$: बाएँ शीर्ष से दाएँ शीर्ष तक खींचिए। यही फ़ोटॉन का प्रसारक है।
4. कण $e^-/e^+$: नीचे बाईं ओर के रिक्त स्थान से बाएँ शीर्ष की ओर खींचिए — पट्टिका बताएगी «$e^-$ प्रवेश करता है»। ऊपर बाईं ओर से यही दोहराइए: फ़र्मिऑन प्रवाह का तीर समय के विरुद्ध जाएगा और वह रेखा आपतित $e^+$ के रूप में पढ़ी जाएगी। (दोनों रेखाएँ किस क्रम में खींचीं, इससे कोई अंतर नहीं पड़ता; तीर की दिशा मायने रखती है।)
5. कण $\mu^-/\mu^+$: दाएँ शीर्ष से ऊपर दाईं ओर के रिक्त स्थान तक (निर्गत $\mu^-$), फिर नीचे दाईं ओर के रिक्त स्थान से शीर्ष की ओर (तीर शीर्ष की ओर लौटता है: निर्गत $\mu^+$)।
6. विश्लेषण टैब देखिए: प्रक्रिया: $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, आरेख संगत। यदि विश्लेषण किसी अनुपस्थित शीर्ष की शिकायत करे तो कोई एक रेखा उलटी पढ़ी जा रही है: उसे चुनकर प्रतिकण पर निशान लगाइए, या उसका सिरा शीर्ष के दूसरी ओर ले जाइए।
7. फ़ाइनमैन नियम और आयाम खोलिए: दो बार शीर्ष $-ie\gamma^\mu$, प्रसारक $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, तथा स्पिनर $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ और $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$।
8. परिकलन टैब: $\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$, परिकलित करें। $\sigma = 62.3\ \mathrm{pb}$। हाथ से जाँचिए: $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ में $\alpha = 1/127.9$ ($M_Z$ पर मॉडल का मान) और $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3.894\times10^8\ \mathrm{pb}$ रखने पर $62.3\ \mathrm{pb}$ आता है।
9. पट्टिका में लौटकर उत्पन्न करें › छूटे हुए आरेख जोड़ें चुनिए: Z वाला आरेख प्रकट होता है — साथ ही h और $G^0$ के विनिमय भी, जो $m_e$ के समानुपाती और नगण्य हैं (उत्पन्न मेनू का बिना अदिश विनिमय विकल्प उन्हें टाल देता है)। अब गणना योग पर होती है।
10. ऊर्जा के सापेक्ष आरेखण: 40 से 200 GeV, 300 बिंदु, लघुगणकीय मापनी, आरेखित करें। Z शिखर $\sqrt s = M_Z = 91.19\ \mathrm{GeV}$ पर $1\,979\ \mathrm{pb}$ तक पहुँचता है, मॉडल में घोषित चौड़ाई $\Gamma_Z = 2.495\ \mathrm{GeV}$ के साथ। वक्र लगभग $70\ \mathrm{GeV}$ पर एक निम्नतम ($25\ \mathrm{pb}$) से गुज़रकर अनुनाद की ओर चढ़ता है; $\gamma$–Z व्यतिकरण छोटे सदिश युग्मनों $g_V$ के समानुपाती है, इसलिए कुल $\sigma$ में वह दबा रहता है — वह अग्र-पश्च असममिति में दिखता है।

2. म्यूऑन का जीवनकाल

1. नया दस्तावेज़, मॉडल StandardModel। दो शीर्ष रखिए।
2. दोनों शीर्षों के बीच $W^+/W^-$ रेखा: एक आभासी W।
3. कण $\mu^-/\mu^+$: बाईं ओर के रिक्त स्थान से पहले शीर्ष तक खींचिए (आपतित $\mu^-$)। कण $\nu_\mu$: पहले शीर्ष से रिक्त स्थान की ओर (निर्गत $\nu_\mu$)।
4. दूसरे शीर्ष पर: निर्गत $e^-$ (शीर्ष से रिक्त स्थान की ओर) तथा निर्गत $\bar\nu_e$ — इसे रिक्त स्थान से शीर्ष की ओर खींचिए ताकि तीर समय के विरुद्ध जाए।
5. विश्लेषण में जाँचिए: $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, संगत। एक आम भूल $\bar\nu_e$ को कण की तरह खींचना है: माँगा गया शीर्ष ve e W~ होता ही नहीं, और निरीक्षक उन पड़ोसी शीर्षों को सूचीबद्ध करता है जो होते हैं (ve~ e W, e~ ve W~) — अर्थात् एक रेखा उलटनी है।
6. परिकलन टैब: यह त्रि-पिंड क्षय है, कला-आकाश का समाकलन ठीक-ठीक होता है (डेलिट्ज़)। $\Gamma = 3.007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$, $\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$, $T_{1/2} = 1.52\ \mu\mathrm s$। मापा गया मान $2.197\ \mu\mathrm s$ है; अंतर विकिरण संशोधनों का है, जो वृक्ष-स्तर पर अनुपस्थित हैं।

रूपांतर: Hadrons मॉडल में W विनिमय से $n\to pe^-\bar\nu_e$ बनाइए ($g_A = 1.27$ के साथ वृक्ष-स्तर पर $\tau = 946\ \mathrm s$, मापा गया $879\ \mathrm s$), या $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, जिसमें केवल एक संपर्क शीर्ष है।

3. $e^+e^-\to W^+W^-$: उत्पन्न कीजिए, जोड़िए, और गेज निरसन देखिए

1. नया दस्तावेज़। दो शीर्ष रखिए और बाह्य रेखाएँ खींचिए: बाईं ओर आपतित $e^-$ और $e^+$, दाईं ओर निर्गत $W^-$ और $W^+$ (कण $W^+/W^-$: शीर्ष से रिक्त स्थान की ओर खींची रेखा निर्गत $W^+$ है; रिक्त स्थान से शीर्ष की ओर, यानी समय के विरुद्ध, निर्गत $W^-$)। अभी कोई आंतरिक रेखा मत बनाइए।
2. उत्पन्न करें › सभी वृक्ष आरेखों से बदलें: चार आरेख — $\gamma$, Z, h (नगण्य, $\propto m_e$) का विनिमय और $t$-चैनल में $\nu_e$।
3. परिकलन टैब, $\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 19.2\ \mathrm{pb}$, ठीक LEP जैसा (मापा गया $17\ \mathrm{pb}$, विकिरण संशोधनों सहित)।
4. न्यूट्रिनो वाला आरेख हटाइए (सूची में चुनकर −) और फिर से गणना कीजिए: $18.1\ \mathrm{pb}$। लगभग कुछ नहीं बदलता… $200\ \mathrm{GeV}$ पर।
5. ऊर्जा के सापेक्ष आरेखण, 170 से 1 000 GeV, लघुगणकीय मापनी: न्यूट्रिनो के बिना $\sigma$ बढ़ता है ($500\ \mathrm{GeV}$ पर $118\ \mathrm{pb}$, $1\ \mathrm{TeV}$ पर $385\ \mathrm{pb}$); चारों आरेखों के साथ वह जैसा होना चाहिए वैसे घटता है ($500\ \mathrm{GeV}$ पर $7.1\ \mathrm{pb}$, $1\ \mathrm{TeV}$ पर $2.4\ \mathrm{pb}$)। यही गेज आरेखों के बीच का निरसन है, और मानक मॉडल के त्रि-बोसॉन युग्मनों के होने का कारण भी।

4. मानक मॉडल के परे: SU(5) और MSSM

SU(5): एक बोसॉन जो क्वार्कों को लेप्टॉन बना देता है

1. मॉडल SU5 चुनिए। पट्टिका में दो बोसॉन जुड़ते हैं: X (आवेश $4/3$) और Y ($1/3$), दोनों वर्ण त्रिक, द्रव्यमान $10^{15}\ \mathrm{GeV}$।
2. $X\to uu$ बनाइए: एक शीर्ष, आपतित X, दो निर्गत u। विश्लेषण: संगत, नियम में वर्ण गुणक $\varepsilon_{abc}$ के साथ — एक ऐसा शीर्ष जो बेरिऑन संख्या का उल्लंघन करता है।
3. परिकलन: $\Gamma(X\to uu) = 4.17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$। $X\to e^+\bar d$ बनाइए: वही चौड़ाई। $\tfrac12/\tfrac12$ के शाखा अनुपात जॉर्जाई–ग्लाशो के हैं; Y के लिए आपको $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$ मिलेंगे, और $\Gamma_Y = \Gamma_X$, जैसा एक ही द्विक के दो सदस्यों के लिए उचित है।
4. $uu\to e^+\bar d$ बनाकर उत्पन्न कीजिए: तीन आरेख ($s$-चैनल में X, $t$ और $u$ चैनलों में Y)। $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$ पर $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$; विश्लेषण टैब $s, t, M_X, M_Y$ में पूरा प्रतीकात्मक व्यंजक देता है।

मॉडल की फ़ाइल (सिद्धांत टैब) दिखाती है कि ये युग्मन कैसे लिखे जाते हैं: आवेश संयुग्मन आव्यूह $C$ सहित द्विरेखीय $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$। देखिए सिद्धांत पृष्ठ।

MSSM: एक UFO आयात करना

1. FeynRules के मॉडल संग्रह से UFO फ़ोल्डर MSSM_SLHA2 उतारिए (या MadGraph के साथ आने वाला कोई भी UFO मॉडल)। पट्टिका में 📁 UFO फ़ोल्डर आयात करें दबाकर वह फ़ोल्डर चुनिए।
2. एक सेकंड बाद: «UFO आयातित: 50 क्षेत्र, 822 शीर्ष»। मॉडल मेरे मॉडल में दिखता है, और पट्टिका में न्यूट्रैलिनो, चार्जिनो, स्क्वार्क, स्लेप्टॉन तथा ग्लुइनो अपने PDG कोडों के साथ सूचीबद्ध होते हैं ($\tilde\chi^0_1$ के लिए 1000022…)।
3. $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ बनाइए (दो निर्गत n1 रेखाएँ; न्यूट्रैलिनो मायोराना कण है, उसका प्रतिकण नहीं होता), फिर उत्पन्न करें: $s$-चैनल में Z का विनिमय, $t$ और $u$ चैनलों में $\tilde e_L$ तथा $\tilde e_R$।
4. $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$ पर परिकलन: SPS1a बिंदु पर $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$, जो रैखिक संघट्टक के अध्ययनों की सीमा के भीतर है। बाह्य स्पिनरों की पंक्ति और स्तंभ भूमिकाएँ आरेख-दर-आरेख बदलती हैं: TreeLevel डेनर के फ़र्मिऑन प्रवाह नियम लागू करता है, और परिणाम चुनी गई दिशा पर निर्भर नहीं करता।