भौतिकी और विधियाँ

TreeLevel ठीक-ठीक क्या गणना करता है, किस तरह करता है, और किसके सामने उसे परखा गया है।

परिधि

TreeLevel वृक्ष-स्तर के आयाम निकालता है (कोई लूप नहीं), मॉडल के मूल या प्रभावी कणों की आरंभिक तथा अंतिम अवस्थाओं के लिए: $2\to n$ प्रकीर्णन और $1\to n$ क्षय। परिणाम हैं पिकोबार्न में अनुप्रस्थ काट (जहाँ क्वार्क हों वहाँ पार्टॉनिक: पार्टन वितरण फलन नहीं हैं), GeV में आंशिक चौड़ाइयाँ, सेकंड में जीवनकाल ($\hbar = 6.582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$), और जब मॉडल कुल चौड़ाई घोषित करता है तब शाखा अनुपात। घोषित अनुनाद चौड़ाइयाँ प्रसारकों में आती हैं (हर में $-iM\Gamma$); एक ही प्रक्रिया के आरेख अपने सापेक्ष चिह्नों सहित संगत रूप से जोड़े जाते हैं।

परिपाटियाँ

मीट्रिक	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
डिरैक आव्यूह	वाइल (कायरल) आधार, ठीक ALOHA की तरह; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
शीर्ष नियम	$i\times{}$(लाग्रांजियन का पद, क्षेत्र हटाकर), सभी संवेग आते हुए, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
प्रसारक	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(अदिश)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(फ़र्मिऑन)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(सदिश)}$$ ये फ़ाइनमैन गेज में हैं; एकात्मक गेज में सदिश के साथ $-p^\mu p^\nu/M^2$ पद जुड़ता है।
मानक मॉडल	FeynRules की परिपाटियाँ, फ़ाइनमैन–'त हूफ़्त गेज: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
प्राचल	UFO sm के: $\alpha^{-1} = 127.9$, $G_F = 1.16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91.1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$ व्युत्पन्न
वर्ण	$T^a = \lambda^a/2$, मानक $f^{abc}$, त्रिकों के लिए $\varepsilon_{ijk}$; बाह्य वर्ण सूचकांकों पर योग और आरंभिक अवस्था पर औसत लिया जाता है (प्रति क्वार्क 3, प्रति ग्लुऑन 8)

संख्यात्मक आयाम

किसी दिए गए गतिकीय बिंदु पर हर आरेख एक प्रदिश जाल है: शीर्ष नियम (बाह्य रेखाओं के संवेगों के साथ संख्यात्मक रूप से आँके गए), प्रसारक, और आंतरिक रेखाओं के वर्ण डेल्टा। जाल अपने आंतरिक सूचकांकों पर लोभी क्रम में संकुचित होता है (हर बार वही प्रदिश जो वर्तमान परिणाम के साथ सर्वाधिक सूचकांक साझा करता है), जिससे बड़े बाह्य गुणनफल बनते ही नहीं — चार-ग्लुऑन शीर्षों पर इससे 25 गुना लाभ होता है। यह जाल हेलिसिटियों पर निर्भर नहीं करता: इसे एक बार निकालकर, हर हेलिसिटी संयोजन के लिए बाह्य तरंग फलनों से संकुचित किया जाता है (हेलिसिटी $\pm\tfrac12$ के स्पिनर $u, v, \bar u, \bar v$; हेलिसिटी $\pm1$ के ध्रुवण सदिश $\varepsilon^\mu$, और द्रव्यमानयुक्त बोसॉनों के लिए $0$ भी)। $\sum|\mathcal M|^2$ इन संयोजनों तथा बाह्य वर्णों पर योग है, जिसे आरंभिक अवस्था की प्रचक्रण और वर्ण बहुलता से भाग दिया जाता है।

जिन आरेखों में बाह्य फ़र्मिऑन एक ही भूमिका (पंक्ति/स्तंभ) निभाते हैं, वे अपने तरंग फलन साझा करते हैं: उनके जाल हेलिसिटी के चक्र से पहले ही जोड़ दिए जाते हैं। कोण या ऊर्जा पर समाकलन सभी कोरों में बाँट दिए जाते हैं।

फ़र्मिऑन: शृंखलाएँ, चिह्न, मायोराना

आरेख की हर अविच्छिन्न फ़र्मिऑन रेखा एक शृंखला बनाती है, जो पंक्ति स्पिनर (निर्गत $\bar u$ या आपतित $\bar v$) से स्तंभ स्पिनर (आपतित $u$ या निर्गत $v$) तक पढ़ी जाती है। आरेखों के बीच सापेक्ष चिह्न बाह्य फ़र्मिऑनों के क्रमचय की सम-विषमता है, और प्रत्येक फ़र्मिऑन लूप के लिए $(-1)$।

मायोराना फ़र्मिऑनों के साथ, या ऐसे युग्मनों के साथ जो फ़र्मिऑन संख्या तोड़ते हैं, शृंखला का कोई «स्वाभाविक» अर्थ नहीं रह जाता। TreeLevel डेनर, एक, हान और क्यूब्लबेक (1992) के नियम अपनाता है: हर शृंखला को मनमाने ढंग से दिशा दी जाती है; अपनी ही दिशा के विरुद्ध पार किया गया शीर्ष $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ देता है ($\gamma^\mu$ का चिह्न बदलता है, $1$, $\gamma^5$ तथा $\gamma^\mu\gamma^5$ का नहीं), उलटी दिशा में चला गया प्रसारक $S(-p)$ देता है, और बाह्य स्पिनर शृंखला में स्थान तथा आपतित/निर्गत होने पर निर्भर करते हैं — कण या प्रतिकण होने पर नहीं। स्पिनर ठीक-ठीक $v = C\bar u^{T}$ का पालन करते हैं; इस शर्त के बिना भिन्न दिशाओं वाले आरेखों के बीच व्यतिकरण गलत निकलता है। परिणाम चुनी गई दिशा पर निर्भर नहीं करता, और परीक्षण-समूह शृंखलाओं का आरंभ-बिंदु व्यवस्थित रूप से उलटकर इसकी जाँच करता है।

कला-आकाश और प्रेक्षणीय राशियाँ

प्रक्रिया	विधि	परिणाम
$2\to2$	द्रव्यमान-केंद्र में $\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$; $\sigma$ के लिए $\cos\theta$ में गाउस–लजांद्र संख्यात्मक समाकलन, वैकल्पिक कटौती $|\cos\theta|\le c$	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; $\sqrt s$ पर प्रसर्पण
$1\to2$	बंद सूत्र $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	डेलिट्ज़ समाकलन (दो अचर द्रव्यमान), संख्यात्मक समाकलन	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	RAMBO मोंटे कार्लो (द्रव्यमानयुक्त कला-आकाश में एकसमान बिंदु), ऊर्जा, युग्म-द्रव्यमान और कोण पर कटौतियाँ, सांख्यिकीय त्रुटि सहित	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

अंतिम अवस्था के समरूप कणों पर $1/n!$ गुणक लगता है; किसी आरेख का सममिति गुणक ($1/|\mathrm{Aut}|$) उसके ग्राफ़ से निकाला जाता है। रूपांतरण: $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0.389379\ \mathrm{mb}$।

प्रतीकात्मक इंजन

वही ग्राफ़ प्रतीकात्मक रूप से भी संसाधित होता है: सम्मिश्र संयुग्मन से बंद हुई हर फ़र्मिऑन शृंखला एक डिराक ट्रेस बन जाती है, जो अदिश गुणनफलों $p_i\cdot p_j$ तथा द्रव्यमानों में विस्तारित होती है ($\gamma^5$ $\varepsilon$ प्रदिश के रास्ते, जो बाद में संकुचित होता है); फिर ध्रुवण योग $-g^{\mu\nu}$ (द्रव्यमानयुक्त बोसॉनों के लिए $+\,p^\mu p^\nu/M^2$) और वर्ण गुणक लगाए जाते हैं; परिणाम — हर के अनुसार समूहित परिमेय भिन्नों का योग — $s, t, u$ में, माँगे गए प्रतिस्थापनों सहित (शून्य द्रव्यमान, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) लिखा जाता है और LaTeX में दिखाया जाता है। परखी गई सभी प्रक्रियाओं में यह संख्यात्मक गणना से $10^{-8}$ तक मेल खाता है — और मायोराना कणों के संख्यात्मक निरूपण में छिपी एक व्यतिकरण-त्रुटि इसी ने पकड़ी और सुधरवाई।

सत्यापन

क्या जाँचा गया	परिणाम
मानक मॉडल के नियम बनाम MadGraph के UFO sm	129 में से 129 शीर्ष समान, सम्मिश्र CKM सहित
QED: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, भाभा, कॉम्पटन, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	पाठ्यपुस्तकों के सूत्र (Peskin & Schroeder); भाभा तीन पदों में
$e^+e^-\to W^+W^-$	$\gamma + Z + \nu$ का गेज निरसन; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19.2\ \mathrm{pb}$
Z शिखर पर अग्र-पश्च असममिति	युग्मनों $g_V$, $g_A$ से अपेक्षित मान
चौड़ाइयाँ $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	बंद सूत्र, शाखा अनुपात
म्यूऑन: $\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7.79\ \mathrm{eV}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10.6\ \%$, $0.70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0.54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8.9\ \mathrm{keV}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ $8\ \%$ के भीतर; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \mathrm s$	मापों से तुलना, वृक्ष-स्तर पर
RAMBO मोंटे कार्लो	कला-आकाश के आयतन यथार्थ; $2\to2$ और म्यूऑन क्षय मोंटे कार्लो से पुनः प्राप्त
मायोराना: द्रव्यमानहीन $N$ के लिए $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	प्रवाह-चयन से स्वतंत्रता, बंद सूत्र
आयातित MSSM_SLHA2: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	SPS1a पर 269 fb (साहित्य में 250–300 fb); $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$ पर प्रतीकात्मक = संख्यात्मक
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ तथा $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; स्वतंत्र संयुग्मी क्षेत्र के साथ तुल्यता (कायरलताओं से आया यथार्थ गुणक 2)
प्रतीकात्मक बनाम संख्यात्मक	मानक मॉडल, MSSM और SU(5) की लगभग एक दर्जन प्रक्रियाओं पर $10^{-8}$

इंजन का परीक्षण-समूह (सौ से अधिक मामले) हर बदलाव पर यह सब फिर से चला देता है।

ज्ञात सीमाएँ

• केवल वृक्ष-स्तर: न लूप, न विकिरण संशोधन, न युग्मनों का विकास। फ़ादेयेव–पोपोव भूत व्युत्पन्न नहीं किए जाते (वृक्ष-स्तर पर अनावश्यक)।
• न पार्टन वितरण फलन, न हैड्रॉनीकरण: क्वार्क वाली प्रक्रियाएँ पार्टॉनिक हैं; Hadrons मॉडल कुछ हल्के हैड्रॉनों का प्रभावी वर्णन देता है।
• चार-फ़र्मिऑन संपर्क शीर्ष नहीं हैं (हर फ़र्मिऑनिक शीर्ष पर ठीक दो फ़र्मिऑन होते हैं)।
• चौड़ाइयाँ प्रसारकों में बिना किसी सम्मिश्र व्यवकलन योजना के आती हैं; अनुनाद से दूर इसका प्रभाव नगण्य है।
• अंतर्निर्मित SU(5) मॉडल में X और Y के फ़र्मिऑनिक युग्मन हैं, उनके गेज स्व-युग्मन नहीं।
• मोंटे कार्लो: RAMBO का प्रतिचयन एकसमान है; ध्रुवों के निकट (मृदु फ़ोटॉन) बिंदुओं की संख्या बढ़ानी पड़ती है — कटौतियाँ इसीलिए हैं।