물리와 방법

TreeLevel이 정확히 무엇을 계산하고, 어떻게 계산하며, 무엇과 맞대어 확인했는가.

적용 범위

TreeLevel은 트리 준위 진폭을 계산합니다(고리는 없습니다). 처음과 끝 상태는 모형의 기본 입자 또는 유효 입자이며, $2\to n$ 산란과 $1\to n$ 붕괴를 다룹니다. 결과는 피코반 단위의 단면적(쿼크가 끼면 파톤 수준입니다. 파톤 분포 함수는 없습니다), GeV 단위의 부분폭, 초 단위의 수명($\hbar = 6.582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$), 그리고 모형이 전체 폭을 선언한 경우의 분기비입니다. 선언된 공명 폭은 전파인자에 들어갑니다(분모의 $-iM\Gamma$). 같은 과정의 다이어그램들은 상대 부호와 함께 일관되게 더해집니다.

규약

계량	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
디랙 행렬	ALOHA와 같이 바일(카이랄) 기저; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
꼭짓점 규칙	$i\times{}$(라그랑지안의 항에서 장을 뺀 것), 운동량은 모두 들어오는 방향, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
전파인자	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(스칼라)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(페르미온)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(벡터)}$$ 위는 파인먼 게이지에서의 형태이며, 유니터리 게이지에서는 벡터에 $-p^\mu p^\nu/M^2$ 항이 붙습니다.
표준모형	FeynRules의 규약, 파인먼–트호프트 게이지: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
매개변수	UFO sm의 것: $\alpha^{-1} = 127.9$, $G_F = 1.16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91.1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$는 유도
색	$T^a = \lambda^a/2$, 표준 $f^{abc}$, 삼중항에는 $\varepsilon_{ijk}$; 외부 색 지표는 더하고 처음 상태는 평균합니다(쿼크마다 3, 글루온마다 8)

수치 진폭

주어진 운동학 점에서 각 다이어그램은 하나의 텐서 그물입니다. 꼭짓점 규칙(외부선의 운동량으로 수치 계산), 전파인자, 내부선의 색 델타. 그물은 내부 지표에 대해 탐욕적 순서로 축약됩니다(언제나 지금까지의 결과와 지표를 가장 많이 공유하는 텐서를 택합니다). 덕분에 커다란 외적을 만들 필요가 없어, 네 글루온 꼭짓점에서는 25배가 빨라집니다. 이 그물은 헬리시티에 의존하지 않습니다. 한 번만 계산해 두고, 헬리시티 조합마다 외부 파동함수(헬리시티 $\pm\tfrac12$의 스피너 $u, v, \bar u, \bar v$, 헬리시티 $\pm1$의 편극 벡터 $\varepsilon^\mu$, 질량 있는 보손에는 $0$까지)와 축약합니다. $\sum|\mathcal M|^2$는 그 조합들과 외부 색에 대한 합을 처음 상태의 스핀·색 다중도로 나눈 것입니다.

외부 페르미온이 같은 역할(행/열)을 맡는 다이어그램들은 파동함수를 함께 씁니다. 그 그물들은 헬리시티 순환에 들어가기 전에 더해집니다. 각도나 에너지에 대한 적분은 모든 코어에 나뉘어 돌아갑니다.

페르미온: 사슬, 부호, 마요라나

다이어그램에서 끊기지 않는 각 페르미온 선은 하나의 사슬을 이루며, 행 스피너(나가는 $\bar u$ 또는 들어오는 $\bar v$)에서 열 스피너(들어오는 $u$ 또는 나가는 $v$)로 읽습니다. 다이어그램 사이의 상대 부호는 외부 페르미온 치환의 패리티이고, 페르미온 고리마다 $(-1)$이 붙습니다.

마요라나 페르미온이 있거나 페르미온 수를 깨는 결합이 있으면 사슬에 ‘자연스러운’ 방향이 없습니다. TreeLevel은 Denner, Eck, Hahn, Küblbeck(1992)의 규칙을 따릅니다. 각 사슬에 방향을 임의로 주고, 제 방향을 거슬러 지나는 꼭짓점은 $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$을 줍니다($\gamma^\mu$는 부호가 바뀌고 $1$, $\gamma^5$, $\gamma^\mu\gamma^5$는 그대로입니다). 거꾸로 지나는 전파인자는 $S(-p)$를 주며, 외부 스피너는 사슬 안의 자리와 들어오는지 나가는지에 따라 정해집니다 — 입자냐 반입자냐가 아니라요. 스피너는 $v = C\bar u^{T}$를 정확히 만족하며, 이 조건이 없으면 방향이 다른 다이어그램 사이의 간섭이 틀립니다. 결과는 고른 방향에 의존하지 않고, 시험 모음은 사슬의 출발점을 체계적으로 뒤집어 그것을 확인합니다.

위상 공간과 관측량

과정	방법	결과
$2\to2$	질량중심계에서 $\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$; $\sigma$는 $\cos\theta$에 대한 가우스–르장드르 구적, $|\cos\theta|\le c$ 자름은 선택	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; $\sqrt s$ 훑기
$1\to2$	닫힌 공식 $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	달리츠 적분(불변질량 둘), 구적	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	RAMBO 몬테카를로(질량이 있는 위상 공간의 고른 점), 에너지·쌍 질량·각도 자름, 통계 오차	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

끝 상태의 동일 입자에는 $1/n!$ 인자가 붙고, 다이어그램의 대칭 인자($1/|\mathrm{Aut}|$)는 그 그래프에서 계산됩니다. 환산: $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0.389379\ \mathrm{mb}$.

기호 엔진

같은 그래프를 기호적으로도 다룹니다. 복소 켤레로 닫힌 각 페르미온 사슬은 디랙 대각합이 되어 스칼라곱 $p_i\cdot p_j$와 질량으로 전개되고($\gamma^5$는 $\varepsilon$ 텐서를 거쳐 나중에 축약됩니다), 편극 합 $-g^{\mu\nu}$(질량 있는 보손에는 $+\,p^\mu p^\nu/M^2$)와 색 인자가 적용됩니다. 결과는 분모별로 모은 유리식의 합이며, 요청한 치환(영질량, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$)과 함께 $s, t, u$로 적혀 LaTeX으로 표시됩니다. 시험한 모든 과정에서 수치 계산과 $10^{-8}$까지 일치하며, 마요라나 입자의 수치 처리에 있던 간섭 오류를 드러내고 고치게 한 것도 바로 이 엔진입니다.

검증

확인한 것	결과
표준모형 규칙과 MadGraph의 UFO sm 대조	129개 꼭짓점 모두 일치, 복소 CKM 포함
QED: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, 바바, 콤프턴, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	교과서 공식(Peskin & Schroeder); 바바는 세 항
$e^+e^-\to W^+W^-$	$\gamma + Z + \nu$의 게이지 상쇄; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19.2\ \mathrm{pb}$
Z 봉우리에서의 앞뒤 비대칭	결합 $g_V$, $g_A$로부터 기대되는 값
붕괴폭 $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	닫힌 공식, 분기비
뮤온: $\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7.79\ \mathrm{eV}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10.6\ \%$, $0.70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0.54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8.9\ \mathrm{keV}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ $8\ \%$ 이내; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \mathrm s$	측정값과, 트리 준위에서
RAMBO 몬테카를로	위상 공간 부피가 정확; $2\to2$와 뮤온 붕괴를 몬테카를로로 재현
마요라나: 질량 없는 $N$에 대해 $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	흐름 선택과 무관, 닫힌 공식
불러온 MSSM_SLHA2: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	SPS1a에서 269 fb(문헌 250–300 fb); $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$에서 기호 = 수치
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ 및 $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; 독립적인 켤레 장과의 동등성(카이랄리티에서 오는 정확한 인자 2)
기호 대 수치	표준모형·MSSM·SU(5)의 열두어 과정에서 $10^{-8}$

엔진의 시험 모음(백 건이 넘습니다)은 고칠 때마다 이 모두를 다시 돌립니다.

알려진 한계

• 트리 준위뿐입니다. 고리도, 복사 보정도, 결합 상수의 흐름도 없습니다. 파데예프–포포프 유령은 유도하지 않습니다(트리에서는 필요 없습니다).
• 파톤 분포 함수도 하드론화도 없습니다. 쿼크가 들어간 과정은 파톤 수준이며, Hadrons 모형이 가벼운 하드론 몇 가지를 유효하게 기술합니다.
• 네 페르미온 접촉 꼭짓점은 없습니다(모든 페르미온 꼭짓점에는 정확히 두 개의 페르미온이 있습니다).
• 폭은 복소 뺄셈 처방 없이 전파인자에 들어갑니다. 공명에서 벗어나면 그 영향은 무시할 만합니다.
• 내장된 SU(5) 모형에는 X와 Y의 페르미온 결합이 있고, 게이지 자체 결합은 없습니다.
• 몬테카를로: RAMBO의 표본은 고르게 뽑힙니다. 극점 근처(무른 광자)에서는 점의 수를 늘려야 하며, 자름이 바로 그것을 위한 것입니다.