教程

四条路线，从第一张图一直走到标准模型之外。每条大约十分钟；文中的数字就是 TreeLevel 给出的数字。

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$：第一次计算，然后是 Z 峰

1. 新建文稿（⌘NCtrl N浏览器中的创建文稿按钮）。面板中已经选好模型 StandardModel；时间方向保持 时间 →。
2. 顶点工具：在画布上左右各点一下，放下两个顶点。
3. 线工具，粒子 $\gamma$：从左顶点拖到右顶点。这就是光子的传播子。
4. 粒子 $e^-/e^+$：从真空（左下方）拖向左顶点——面板会提示「$e^-$ 进入」。再从左上方拖一次：费米子流的箭头会逆着时间，这条外线便读作入射的 $e^+$。（两条外线先画哪条都无所谓，要紧的是箭头的方向。）
5. 粒子 $\mu^-/\mu^+$：从右顶点拖向右上方的真空（出射的 $\mu^-$），再从右下方的真空拖向顶点（箭头指回顶点：出射的 $\mu^+$）。
6. 看「分析」标签页：过程：$e^-e^+\to\mu^-\mu^+$，图自洽。若分析报出模型里没有的顶点，说明有一条外线读反了：选中它并勾选 反粒子，或者把它的端点移到顶点另一侧。
7. 展开「费曼规则与振幅」：两次 $-ie\gamma^\mu$ 顶点，传播子 $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$，以及旋量 $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ 和 $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$。
8. 「计算」标签页：$\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$，按 计算。$\sigma = 62.3\ \mathrm{pb}$。可以手算核对：$\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$，取 $\alpha = 1/127.9$（模型在 $M_Z$ 处的取值），并用 $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3.894\times10^8\ \mathrm{pb}$，正好是 $62.3\ \mathrm{pb}$。
9. 回到面板，点 生成 ›「补上缺少的图」：带 Z 的图出现了，同时还有 h 和 $G^0$ 的交换——它们正比于 $m_e$，可以忽略（生成菜单里的「不含标量交换」可以避开）。此后计算的是它们的和。
10. 「随能量作图」：40 到 200 GeV，300 个点，对数坐标，按 绘制。Z 峰在 $\sqrt s = M_Z = 91.19\ \mathrm{GeV}$ 处达到 $1\,979\ \mathrm{pb}$，对应模型中声明的宽度 $\Gamma_Z = 2.495\ \mathrm{GeV}$。曲线在 $70\ \mathrm{GeV}$ 附近经过一个极小（$25\ \mathrm{pb}$），随后升向共振；$\gamma$–Z 干涉正比于很小的矢量耦合 $g_V$，在总截面里并不显眼——它显现在前后不对称性上。

2. μ 子的寿命

1. 新建文稿，模型 StandardModel。放下两个顶点。
2. 在两个顶点之间画一条 $W^+/W^-$ 线：一个虚 W。
3. 粒子 $\mu^-/\mu^+$：从左侧真空拖向第一个顶点（入射的 $\mu^-$）。粒子 $\nu_\mu$：从第一个顶点拖向真空（出射的 $\nu_\mu$）。
4. 在第二个顶点：出射的 $e^-$（从顶点拖向真空）和出射的 $\bar\nu_e$——这条要从真空拖向顶点，好让箭头逆着时间。
5. 在「分析」里核对：$\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$，自洽。常见的错误是把 $\bar\nu_e$ 当作粒子来画：所要求的顶点 ve e W~ 并不存在，检查器会列出确实存在的相邻顶点（ve~ e W、e~ ve W~）——也就是说，有一条外线要反过来。
6. 「计算」标签页：这是三体衰变，相空间可以精确积分（Dalitz）。$\Gamma = 3.007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$，$\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$，$T_{1/2} = 1.52\ \mu\mathrm s$。实验值是 $2.197\ \mu\mathrm s$；差别来自辐射修正，树图阶没有它们。

变化题：在 Hadrons 模型里画 $n\to pe^-\bar\nu_e$ 的 W 交换（树图阶取 $g_A = 1.27$ 得 $\tau = 946\ \mathrm s$，实验值 $879\ \mathrm s$），或者画只有一个接触顶点的 $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$。

3. $e^+e^-\to W^+W^-$：生成、求和，并看见规范相消

1. 新建文稿。放下两个顶点，画好外线：左边入射的 $e^-$ 与 $e^+$，右边出射的 $W^-$ 与 $W^+$（粒子 $W^+/W^-$：从顶点拖向真空是出射的 $W^+$；从真空拖向顶点，也就是逆着时间，是出射的 $W^-$）。先不要画内线。
2. 生成 ›「替换为全部树图」：四张图——交换 $\gamma$、Z、h（可忽略，$\propto m_e$）以及 $t$ 道的 $\nu_e$。
3. 「计算」标签页，$\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$：$\sigma = 19.2\ \mathrm{pb}$，与 LEP 相符（实测 $17\ \mathrm{pb}$，含辐射修正）。
4. 删掉中微子那张图（在列表中选中它，按 −）再算一次：$18.1\ \mathrm{pb}$。几乎没有变化……在 $200\ \mathrm{GeV}$ 处如此。
5. 「随能量作图」，170 到 1 000 GeV，对数坐标：没有中微子时，$\sigma$ 反而上升（$500\ \mathrm{GeV}$ 处 $118\ \mathrm{pb}$，$1\ \mathrm{TeV}$ 处 $385\ \mathrm{pb}$）；四张图齐全时，它按应有的方式下降（$500\ \mathrm{GeV}$ 处 $7.1\ \mathrm{pb}$，$1\ \mathrm{TeV}$ 处 $2.4\ \mathrm{pb}$）。这正是规范图之间的相消，也是标准模型三玻色子耦合存在的理由。

4. 标准模型之外：SU(5) 与 MSSM

SU(5)：把夸克变成轻子的玻色子

1. 选择模型 SU5。面板中多出两个玻色子：X（电荷 $4/3$）与 Y（$1/3$），都是色三重态，质量 $10^{15}\ \mathrm{GeV}$。
2. 画 $X\to uu$：一个顶点，X 入射，两个 u 出射。分析：自洽，规则里带着色因子 $\varepsilon_{abc}$——这是一个破坏重子数的顶点。
3. 计算：$\Gamma(X\to uu) = 4.17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$。再画 $X\to e^+\bar d$：宽度相同。$\tfrac12/\tfrac12$ 的分支比正是乔治–格拉肖的结果；对 Y 你会得到 $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$，以及 $\Gamma_Y = \Gamma_X$，这对同一个二重态的两个成员来说理应如此。
4. 画 $uu\to e^+\bar d$ 并生成：三张图（$s$ 道的 X，$t$ 道与 $u$ 道的 Y）。在 $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$ 处 $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$；「分析」标签页会给出以 $s, t, M_X, M_Y$ 表示的完整符号表达式。

模型文件（「理论」标签页）展示了这些耦合怎么写：带电荷共轭矩阵 $C$ 的双线性式 $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$。参见理论页面。

MSSM：导入一个 UFO

1. 从 FeynRules 的模型库下载 UFO 目录 MSSM_SLHA2（或任何随 MadGraph 提供的 UFO 模型）。在面板中点 📁 导入 UFO 目录，选择该目录。
2. 一秒之后：「已导入 UFO：50 个场，822 个顶点」。模型出现在我的模型中，面板列出中性微子、荷电微子、squark、slepton 和 gluino，并附上它们的 PDG 编码（$\tilde\chi^0_1$ 是 1000022……）。
3. 画 $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$（两条出射的 n1 外线；中性微子是马约拉纳粒子，没有反粒子），然后按 生成：$s$ 道交换 Z，$t$ 道与 $u$ 道交换 $\tilde e_L$ 和 $\tilde e_R$。
4. 在 $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$ 处计算：SPS1a 点上 $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$，落在直线对撞机研究给出的范围内。外旋量的行、列角色逐图而变：TreeLevel 采用 Denner 的费米子流规则，结果与所选取向无关。