物理与方法

TreeLevel 究竟计算什么，用什么办法，又是拿什么来核对的。

适用范围

TreeLevel 计算树图阶振幅（不含圈图），初末态取自模型中的基本粒子或有效粒子：$2\to n$ 散射与 $1\to n$ 衰变。结果是以皮靶为单位的截面（一旦涉及夸克就是部分子层次的：没有部分子分布函数）、以 GeV 为单位的分宽度、以秒为单位的寿命（$\hbar = 6.582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$），以及在模型声明了总宽度时给出的分支比。声明的共振宽度会进入传播子（分母中的 $-iM\Gamma$）；同一过程的各张图带着相对符号一致地相加。

约定

度规	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$，$\varepsilon^{0123} = +1$
狄拉克矩阵	Weyl（手征）基，与 ALOHA 一致；$\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$，$P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
顶点规则	$i\times{}$（拉格朗日量中的该项，去掉场），所有动量均取流入，$\partial_\mu \to -ip_\mu$
传播子	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(标量)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(费米子)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(矢量)}$$ 以上为费曼规范；在幺正规范下，矢量另加 $-p^\mu p^\nu/M^2$ 项。
标准模型	采用 FeynRules 的约定，费曼–特霍夫特规范： $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
参数	取自 UFO sm：$\alpha^{-1} = 127.9$，$G_F = 1.16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$，$M_Z = 91.1876\ \mathrm{GeV}$，$M_W$ 由此导出
色	$T^a = \lambda^a/2$，标准的 $f^{abc}$，三重态用 $\varepsilon_{ijk}$；外线色指标求和，初态取平均（每个夸克 3，每个胶子 8）

数值振幅

在给定的运动学点上，每张图都是一个张量网络：顶点规则（用外线动量数值求值）、传播子，以及内线的色 δ。网络按贪心次序在内部指标上收缩（每次取与当前结果共享指标最多的那个张量），从而避免形成庞大的外积——四胶子顶点因此快了 25 倍。这个网络与螺旋度无关：只算一次，随后针对每一种螺旋度组合与外线波函数收缩（螺旋度 $\pm\tfrac12$ 的旋量 $u, v, \bar u, \bar v$；螺旋度 $\pm1$ 的极化矢量 $\varepsilon^\mu$，有质量玻色子还有 $0$）。$\sum|\mathcal M|^2$ 就是对这些组合与外线色求和，再除以初态的自旋与色多重度。

若两张图的外费米子担任相同的角色（行／列），它们共用波函数：在螺旋度循环之前先把网络相加。角度或能量上的积分则分散到全部核心上。

费米子：链、符号、马约拉纳

图中每一条连续的费米子线构成一条链，从行旋量（出射的 $\bar u$ 或入射的 $\bar v$）读到列旋量（入射的 $u$ 或出射的 $v$）。图与图之间的相对符号是外费米子置换的宇称，每条费米子圈再乘 $(-1)$。

一旦出现马约拉纳费米子，或者破坏费米子数的耦合，链就不再有「自然」的方向。TreeLevel 采用 Denner、Eck、Hahn 与 Küblbeck（1992）的规则：任意给每条链定向；逆着自身取向穿过的顶点给出 $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$（$\gamma^\mu$ 变号，而 $1$、$\gamma^5$ 与 $\gamma^\mu\gamma^5$ 不变），反向走过的传播子给出 $S(-p)$；外旋量取决于它在链中的位置以及是入射还是出射——与它是粒子还是反粒子无关。旋量严格满足 $v = C\bar u^{T}$，缺了这一条，取向不同的图之间的干涉就会算错。结果与所选取向无关，测试套件正是通过系统地颠倒链的起点来核验这一点。

相空间与可观测量

过程	方法	结果
$2\to2$	质心系中 $\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$；$\sigma$ 由 $\cos\theta$ 上的高斯–勒让德求积给出，可选 $|\cos\theta|\le c$ 的截断	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$、$d\sigma/d\Omega$、$\sigma$；随 $\sqrt s$ 的扫描
$1\to2$	闭式公式 $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$、$\tau$、$T_{1/2}$、BR
$1\to3$	Dalitz 积分（两个不变质量），求积	$\Gamma$、$\tau$、$T_{1/2}$、BR
$2\to n$、$1\to n$	RAMBO 蒙特卡罗（有质量相空间中的均匀取点），能量、对质量与角度上的截断，并给出统计误差	$\sigma\pm\delta\sigma$、$\Gamma\pm\delta\Gamma$

末态中的全同粒子带因子 $1/n!$；一张图的对称因子（$1/|\mathrm{Aut}|$）由它的图论结构算出。换算：$1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0.389379\ \mathrm{mb}$。

符号引擎

同一张图也可以符号地处理：每条由复共轭闭合的费米子链化为一条狄拉克迹，展开成标量积 $p_i\cdot p_j$ 与质量（$\gamma^5$ 经由 $\varepsilon$ 张量，随后再收缩）；接着施加极化求和 $-g^{\mu\nu}$（有质量玻色子另加 $p^\mu p^\nu/M^2$）与色因子；结果是一组按分母归并的有理分式之和，用 $s, t, u$ 写出，并按要求作代换（零质量、$u = \sum m^2 - s - t$、$c_W^2 = 1 - s_W^2$），最后以 LaTeX 呈现。在所有测试过的过程上，它与数值计算相符到 $10^{-8}$——也正是它让一处马约拉纳数值处理中的干涉错误浮出水面并得到改正。

验证

验证的内容	结果
标准模型规则对照 MadGraph 的 UFO sm	129 个顶点全部一致，含复数 CKM
QED：$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$、Bhabha、Compton、$e^+e^-\to\gamma\gamma$	教科书公式（Peskin & Schroeder）；Bhabha 为三项
$e^+e^-\to W^+W^-$	$\gamma + Z + \nu$ 的规范相消；$\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19.2\ \mathrm{pb}$
Z 峰处的前后不对称性	与耦合 $g_V$、$g_A$ 给出的预期值一致
宽度 $Z\to f\bar f$、$W\to\ell\nu$、$h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	闭式公式与分支比
μ 子：$\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$；$\pi^0\to\gamma\gamma$：$7.79\ \mathrm{eV}$；$\pi\to\mu\nu$；$K\to\mu\nu$；$\tau\to\pi\nu,\ K\nu$：BR $10.6\ \%$、$0.70\ \%$；$D_s\to\mu\nu$ $0.54\ \%$；$\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8.9\ \mathrm{keV}$；$\Lambda\to pe\bar\nu$ 相符至 $8\ \%$；$n\to pe\bar\nu$：$946\ \mathrm s$	与实验值相比，树图阶
RAMBO 蒙特卡罗	相空间体积精确；$2\to2$ 与 μ 子衰变用蒙特卡罗重现
马约拉纳：无质量 $N$ 时 $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$；$\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$；$e^-e^-\to W^-W^-$	与流向无关，闭式公式
导入的 MSSM_SLHA2：$\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	SPS1a 点上 269 fb（文献为 250–300 fb）；$\tilde\chi^+\tilde\chi^-$、$\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$、$\tilde g\tilde g$ 上符号 = 数值
SU(5)：$X\to uu,\ e^+\bar d$；$Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$；BR 为 $\tfrac12, \tfrac12$ 与 $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$；$\Gamma_X = \Gamma_Y$；与独立共轭场的等价性（手征带来的严格因子 2）
符号与数值对照	十余个过程上达到 $10^{-8}$，涵盖标准模型、MSSM 与 SU(5)

引擎的测试套件（一百多个用例）在每次改动后把这些全部重跑一遍。

已知的限制

• 只到树图阶：没有圈图，没有辐射修正，也没有耦合常数的跑动。不推导 Faddeev–Popov 鬼场（树图阶用不到）。
• 没有部分子分布函数，也没有强子化：含夸克的过程是部分子层次的；Hadrons 模型对若干轻强子给出有效描述。
• 没有四费米子接触顶点（每个费米子顶点恰好有两条费米子线）。
• 宽度进入传播子时不采用复数减除方案；远离共振时影响可以忽略。
• 内置的 SU(5) 模型含有 X、Y 的费米子耦合，但不含它们的规范自耦合。
• 蒙特卡罗：RAMBO 的取样是均匀的；靠近极点（软光子）时需要增加取点数——截断正是为此而设。