Fisica e metodi

Che cosa calcola esattamente TreeLevel, come lo fa e contro che cosa è stato verificato.

Ambito

TreeLevel calcola ampiezze ad albero (nessun loop), per stati iniziali e finali di particelle elementari o efficaci del modello: diffusioni $2\to n$ e decadimenti $1\to n$. I risultati sono sezioni d'urto in picobarn (partoniche quando ci sono quark: niente funzioni di distribuzione partonica), larghezze parziali in GeV, vite medie in secondi ($\hbar = 6{,}582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$) e rapporti di decadimento quando il modello dichiara la larghezza totale. Le larghezze di risonanza dichiarate entrano nei propagatori ($-iM\Gamma$ al denominatore); i diagrammi di uno stesso processo sono sommati coerentemente, con i loro segni relativi.

Convenzioni

Metrica	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
Matrici di Dirac	base di Weyl (chirale), come ALOHA; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
Regola di vertice	$i\times{}$(termine della lagrangiana, tolti i campi), tutti gli impulsi entranti, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
Propagatori	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(scalare)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(fermione)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(vettore)}$$ in gauge di Feynman; in gauge unitaria il vettore riceve il termine $-p^\mu p^\nu/M^2$.
Modello standard	convenzioni di FeynRules, gauge di Feynman–'t Hooft: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
Parametri	quelli dell'UFO sm: $\alpha^{-1} = 127{,}9$, $G_F = 1{,}16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91{,}1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$ derivata
Colore	$T^a = \lambda^a/2$, $f^{abc}$ standard, $\varepsilon_{ijk}$ per i tripletti; gli indici di colore esterni sono sommati, lo stato iniziale mediato (3 per quark, 8 per gluone)

Ampiezze numeriche

Per un dato punto cinematico, ogni diagramma è una rete di tensori: le regole dei vertici (valutate numericamente con gli impulsi delle gambe), i propagatori e le delta di colore delle linee interne. La rete viene contratta sui suoi indici interni con un ordine goloso (sempre il tensore che condivide più indici con il risultato corrente), evitando così di formare grandi prodotti esterni — i vertici a quattro gluoni ci guadagnano un fattore 25. Questa rete non dipende dalle elicità: si calcola una volta sola e poi si contrae con le funzioni d'onda esterne (spinori $u, v, \bar u, \bar v$ di elicità $\pm\tfrac12$; vettori di polarizzazione $\varepsilon^\mu$ di elicità $\pm1$, e $0$ per i bosoni massivi) per ciascuna configurazione di elicità. $\sum|\mathcal M|^2$ è la somma su quelle configurazioni e sui colori esterni, divisa per la molteplicità di spin e di colore dello stato iniziale.

I diagrammi i cui fermioni esterni hanno gli stessi ruoli (riga/colonna) condividono le funzioni d'onda: le loro reti sono sommate prima del ciclo sulle elicità. Le integrazioni in angolo o in energia sono ripartite su tutti i core.

Fermioni: catene, segni, Majorana

Ogni linea fermionica continua di un diagramma forma una catena letta dallo spinore riga ($\bar u$ uscente o $\bar v$ entrante) allo spinore colonna ($u$ entrante o $v$ uscente). Il segno relativo fra diagrammi è la parità della permutazione dei fermioni esterni, più $(-1)$ per ogni loop fermionico.

Con fermioni di Majorana o con accoppiamenti che violano il numero fermionico, una catena non ha più un verso «naturale». TreeLevel segue le regole di Denner, Eck, Hahn e Küblbeck (1992): ogni catena viene orientata arbitrariamente; un vertice attraversato contro il proprio orientamento dà $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ ($\gamma^\mu$ cambia segno; $1$, $\gamma^5$ e $\gamma^\mu\gamma^5$ no), un propagatore percorso a ritroso dà $S(-p)$, e gli spinori esterni dipendono dalla posizione nella catena e dal carattere entrante/uscente — non dall'essere particella o antiparticella. Gli spinori soddisfano $v = C\bar u^{T}$ esattamente, condizione senza la quale le interferenze fra diagrammi orientati in modo diverso risultano sbagliate. Il risultato non dipende dall'orientamento scelto, e la suite di test lo verifica invertendo sistematicamente il punto di partenza delle catene.

Spazio delle fasi e osservabili

Processo	Metodo	Risultato
$2\to2$	$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$ nel centro di massa; $\sigma$ per quadratura di Gauss–Legendre in $\cos\theta$, taglio $|\cos\theta|\le c$ facoltativo	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; scansione in $\sqrt s$
$1\to2$	formula chiusa $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	integrazione di Dalitz (due masse invarianti), quadratura	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	Monte Carlo RAMBO (punti uniformi nello spazio delle fasi massivo), tagli in energia, massa di coppia e angolo, errore statistico	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

Le particelle identiche nello stato finale ricevono il fattore $1/n!$; il fattore di simmetria di un diagramma ($1/|\mathrm{Aut}|$) si calcola sul suo grafo. Conversione: $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}389379\ \mathrm{mb}$.

Motore simbolico

Lo stesso grafo è trattato anche simbolicamente: ogni catena fermionica chiusa dalla coniugazione complessa diventa una traccia di Dirac, sviluppata in prodotti scalari $p_i\cdot p_j$ e masse ($\gamma^5$ tramite il tensore $\varepsilon$, poi contratto); si applicano le somme di polarizzazione $-g^{\mu\nu}$ ($+\,p^\mu p^\nu/M^2$ per i bosoni massivi) e i fattori di colore; il risultato, una somma di frazioni razionali raggruppate per denominatore, è scritto in $s, t, u$ con le sostituzioni richieste (masse nulle, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) e reso in LaTeX. Coincide con il calcolo numerico entro $10^{-8}$ su tutti i processi provati — ed è stato proprio lui a far scoprire, e poi correggere, un errore di interferenza nel trattamento numerico dei Majorana.

Validazioni

Che cosa viene verificato	Risultato
Regole del Modello standard contro l'UFO sm di MadGraph	129 vertici su 129 identici, CKM complessa compresa
QED: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, Bhabha, Compton, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	formule dei manuali (Peskin & Schroeder); Bhabha in tre termini
$e^+e^-\to W^+W^-$	cancellazione di gauge $\gamma + Z + \nu$; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19{,}2\ \mathrm{pb}$
Asimmetria avanti-indietro al picco della Z	il valore atteso dagli accoppiamenti $g_V$, $g_A$
Larghezze $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	formule chiuse, rapporti di decadimento
Muone: $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7{,}79\ \mathrm{eV}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10{,}6\ \%$, $0{,}70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0{,}54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8{,}9\ \mathrm{keV}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ all'$8\ \%$; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \mathrm s$	misure, ad albero
Monte Carlo RAMBO	volumi di spazio delle fasi esatti; $2\to2$ e decadimento del muone ritrovati per MC
Majorana: $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$ per $N$ senza massa; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	indipendenza dal flusso, formule chiuse
MSSM_SLHA2 importato: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	269 fb a SPS1a (letteratura: 250–300 fb); simbolico = numerico su $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ e $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; equivalenza con un campo coniugato indipendente (fattore 2 esatto delle chiralità)
Simbolico contro numerico	$10^{-8}$ su una dozzina di processi, MS, MSSM e SU(5)

La suite di test del motore (più di cento casi) rigioca tutto questo a ogni modifica.

Limiti noti

• Solo albero: niente loop, niente correzioni radiative, nessuna evoluzione degli accoppiamenti. I fantasmi di Faddeev–Popov non sono derivati (inutili ad albero).
• Niente funzioni di distribuzione partonica né adronizzazione: i processi con quark sono partonici; il modello Hadrons offre una descrizione efficace di alcuni adroni leggeri.
• Niente vertici di contatto a quattro fermioni (ogni vertice fermionico ha esattamente due fermioni).
• Le larghezze entrano nei propagatori senza schema di sottrazione complesso; fuori risonanza l'effetto è trascurabile.
• Il modello SU(5) integrato comprende gli accoppiamenti fermionici di X e Y, non i loro autoaccoppiamenti di gauge.
• Monte Carlo: il campionamento RAMBO è uniforme; vicino ai poli (fotoni soffici) il numero di punti deve crescere — i tagli servono a questo.