Tutorial

Quattro percorsi, dal primo diagramma alla fisica oltre il Modello standard. Ciascuno richiede una decina di minuti; i numeri citati sono quelli che TreeLevel mostra.

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$: un primo calcolo, poi il picco della Z

1. Nuovo documento (⌘NCtrl Npulsante Crea documento del browser). Nella tavolozza è selezionato il modello StandardModel; lasciate il verso del tempo su tempo →.
2. Strumento Vertice: fate clic due volte sull'area di disegno, a sinistra e a destra, per porre due vertici.
3. Strumento Linea, particella $\gamma$: trascinate dal vertice di sinistra a quello di destra. È il propagatore del fotone.
4. Particella $e^-/e^+$: trascinate dal vuoto, in basso a sinistra, verso il vertice di sinistra — la tavolozza annuncia «$e^-$ entra». Ripetete dall'alto a sinistra: la freccia del flusso fermionico risalirà il tempo e la gamba sarà letta come un $e^+$ entrante. (L'ordine con cui tracciate le due gambe non conta: conta il verso della freccia.)
5. Particella $\mu^-/\mu^+$: trascinate dal vertice di destra verso il vuoto, in alto a destra ($\mu^-$ uscente), poi dal vuoto in basso a destra verso il vertice (la freccia torna al vertice: $\mu^+$ uscente).
6. Guardate la scheda Analisi: Processo: $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, Diagramma coerente. Se l'analisi segnala un vertice inesistente, una delle gambe è letta al contrario: selezionatela e spuntate Antiparticella, oppure spostate la sua estremità dall'altro lato del vertice.
7. Aprite Regole di Feynman e ampiezza: il vertice $-ie\gamma^\mu$ due volte, il propagatore $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, gli spinori $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ e $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$.
8. Scheda Calcolo: $\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$, Calcola. $\sigma = 62{,}3\ \mathrm{pb}$. Verificate a mano: $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ con $\alpha = 1/127{,}9$ (il valore del modello a $M_Z$) e $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3{,}894\times10^8\ \mathrm{pb}$ dà $62{,}3\ \mathrm{pb}$.
9. Tornate nella tavolozza e scegliete Genera › Aggiungi i diagrammi mancanti: compare il diagramma con la Z, e anche gli scambi di h e di $G^0$, proporzionali a $m_e$ e trascurabili (l'opzione Senza scambio di scalari del menu Genera li evita). Il calcolo riguarda ora la somma.
10. Grafico in funzione dell'energia: da 40 a 200 GeV, 300 punti, scala logaritmica, Traccia. Il picco della Z culmina a $1\,979\ \mathrm{pb}$ a $\sqrt s = M_Z = 91{,}19\ \mathrm{GeV}$, con la larghezza $\Gamma_Z = 2{,}495\ \mathrm{GeV}$ dichiarata nel modello. La curva passa per un minimo verso $70\ \mathrm{GeV}$ ($25\ \mathrm{pb}$) prima di risalire verso la risonanza; l'interferenza $\gamma$–Z, proporzionale ai piccoli accoppiamenti vettoriali $g_V$, resta discreta nella $\sigma$ totale — si vede invece nell'asimmetria avanti-indietro.

2. La vita media del muone

1. Nuovo documento, modello StandardModel. Ponete due vertici.
2. Linea $W^+/W^-$ fra i due vertici: un W virtuale.
3. Particella $\mu^-/\mu^+$: trascinate dal vuoto, a sinistra, verso il primo vertice ($\mu^-$ entrante). Particella $\nu_\mu$: trascinate dal primo vertice al vuoto ($\nu_\mu$ uscente).
4. Al secondo vertice: $e^-$ uscente (dal vertice al vuoto) e $\bar\nu_e$ uscente — tracciate la gamba dal vuoto verso il vertice, così la freccia risale il tempo.
5. Verificate in Analisi: $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, coerente. Un errore classico è tracciare il $\bar\nu_e$ come particella: il vertice ve e W~ richiesto non esiste, e l'ispettore elenca i vertici vicini che esistono (ve~ e W, e~ ve W~) — in altre parole, c'è una gamba da invertire.
6. Scheda Calcolo: il decadimento è a tre corpi, lo spazio delle fasi si integra esattamente (Dalitz). $\Gamma = 3{,}007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$, $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$, $T_{1/2} = 1{,}52\ \mu\mathrm s$. Il valore misurato è $2{,}197\ \mu\mathrm s$; lo scarto è dovuto alle correzioni radiative, assenti ad albero.

Variante: nel modello Hadrons, disegnate $n\to pe^-\bar\nu_e$ per scambio di W ($\tau = 946\ \mathrm s$ ad albero con $g_A = 1{,}27$, contro i $879\ \mathrm s$ misurati) oppure $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, che ha un solo vertice di contatto.

3. $e^+e^-\to W^+W^-$: generare, sommare e vedere la cancellazione di gauge

1. Nuovo documento. Ponete due vertici e tracciate le gambe esterne: $e^-$ ed $e^+$ entranti a sinistra, $W^-$ e $W^+$ uscenti a destra (particella $W^+/W^-$: tracciata dal vertice al vuoto, la linea è un $W^+$ uscente; dal vuoto al vertice, cioè contro il tempo, un $W^-$ uscente). Non disegnate ancora alcuna linea interna.
2. Genera › Sostituisci con tutti i diagrammi ad albero: quattro diagrammi — scambio di $\gamma$, di Z, di h (trascurabile, $\propto m_e$) e di $\nu_e$ nel canale $t$.
3. Scheda Calcolo, $\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 19{,}2\ \mathrm{pb}$, come al LEP ($17\ \mathrm{pb}$ misurati, correzioni radiative comprese).
4. Eliminate il diagramma del neutrino (selezionatelo nella lista, −) e ricalcolate: $18{,}1\ \mathrm{pb}$. Quasi nulla cambia… a $200\ \mathrm{GeV}$.
5. Grafico in funzione dell'energia, da 170 a 1 000 GeV, scala logaritmica: senza il neutrino, $\sigma$ cresce ($118\ \mathrm{pb}$ a $500\ \mathrm{GeV}$, $385\ \mathrm{pb}$ a $1\ \mathrm{TeV}$); con tutti e quattro i diagrammi decresce come deve ($7{,}1\ \mathrm{pb}$ a $500\ \mathrm{GeV}$, $2{,}4\ \mathrm{pb}$ a $1\ \mathrm{TeV}$). È la cancellazione fra i diagrammi di gauge, e la ragion d'essere degli accoppiamenti a tre bosoni del Modello standard.

4. Oltre il Modello standard: SU(5) e l'MSSM

SU(5): un bosone che trasforma quark in leptoni

1. Scegliete il modello SU5. La tavolozza guadagna due bosoni, X (carica $4/3$) e Y ($1/3$), tripletti di colore, di massa $10^{15}\ \mathrm{GeV}$.
2. Disegnate $X\to uu$: un vertice, X entrante, due u uscenti. Analisi: coerente, con il fattore di colore $\varepsilon_{abc}$ nella regola — un vertice che viola il numero barionico.
3. Calcolo: $\Gamma(X\to uu) = 4{,}17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$. Disegnate $X\to e^+\bar d$: la stessa larghezza. I rapporti di decadimento $\tfrac12/\tfrac12$ sono quelli di Georgi–Glashow; per Y troverete $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$, e $\Gamma_Y = \Gamma_X$, come si conviene a due membri dello stesso doppietto.
4. Disegnate $uu\to e^+\bar d$ e generate: tre diagrammi (X nel canale $s$, Y nei canali $t$ e $u$). A $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$, $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$; la scheda Analisi dà l'espressione simbolica completa in $s, t, M_X, M_Y$.

Il file del modello (scheda Teoria) mostra come si scrivono questi accoppiamenti: bilineari $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ con la matrice di coniugazione di carica $C$. Si veda la pagina Teorie.

MSSM: importare un UFO

1. Scaricate la cartella UFO MSSM_SLHA2 dalla banca di modelli FeynRules (o un qualsiasi modello UFO fornito con MadGraph). Nella tavolozza, pulsante 📁 Importa una cartella UFO, scegliete la cartella.
2. Un secondo dopo: «UFO importato: 50 campi, 822 vertici». Il modello compare in I miei modelli, e la tavolozza elenca neutralini, charginos, squark, slepton e il gluino, con i loro codici PDG (1000022 per $\tilde\chi^0_1$…).
3. Disegnate $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ (due gambe n1 uscenti; il neutralino è di Majorana, niente antiparticella), poi Genera: scambio di Z nel canale $s$, di $\tilde e_L$ ed $\tilde e_R$ nei canali $t$ e $u$.
4. Calcolo a $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$ al punto SPS1a, nell'intervallo degli studi per un collisore lineare. I ruoli di riga e colonna degli spinori esterni cambiano da un diagramma all'altro: TreeLevel applica le regole di flusso fermionico di Denner, e il risultato non dipende dall'orientamento scelto.