物理と手法

TreeLevel が正確には何を計算し、どのように行い、何と突き合わせて確かめられているか。

適用範囲

TreeLevel はツリー準位の振幅を計算します（ループはありません）。始状態と終状態は、模型の素粒子または有効粒子です。$2\to n$ の散乱と $1\to n$ の崩壊。結果はピコバーン単位の断面積（クォークが絡めばパートン断面積です。パートン分布関数はありません）、GeV 単位の部分幅、秒単位の寿命（$\hbar = 6.582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$）、そして模型が全幅を宣言していれば分岐比。宣言された共鳴幅は伝播関数に入ります（分母の $-iM\Gamma$）。同じ過程の図は相対符号を伴って整合的に足し合わされます。

規約

計量	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$、$\varepsilon^{0123} = +1$
ディラック行列	ALOHA と同じくワイル（カイラル）基底。$\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$、$P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
頂点則	$i\times{}$（ラグランジアンの項から場を外したもの）。運動量はすべて流入、$\partial_\mu \to -ip_\mu$
伝播関数	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(スカラー)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(フェルミオン)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(ベクトル)}$$ 以上はファインマンゲージでの形です。ユニタリゲージではベクトルに $-p^\mu p^\nu/M^2$ の項が付きます。
標準模型	FeynRules の規約、ファインマン–'t フーフトゲージ： $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
パラメータ	UFO sm のもの：$\alpha^{-1} = 127.9$、$G_F = 1.16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$、$M_Z = 91.1876\ \mathrm{GeV}$、$M_W$ は導出
色	$T^a = \lambda^a/2$、標準の $f^{abc}$、三重項には $\varepsilon_{ijk}$。外線の色添字は和を取り、始状態は平均します（クォークごとに 3、グルーオンごとに 8）

数値振幅

与えられた運動学点で、各図はテンソルの網です。頂点則（外線の運動量を入れて数値評価したもの）、伝播関数、内線の色デルタ。網は内部添字について貪欲な順序で縮約されます（常に、現在の結果と最も多くの添字を共有するテンソルを選ぶ）。こうすると巨大な外積を作らずに済み、四グルーオン頂点では 25 倍の得になります。この網はヘリシティに依りません。一度だけ計算し、ヘリシティの各組み合わせごとに外線の波動関数（ヘリシティ $\pm\tfrac12$ のスピノル $u, v, \bar u, \bar v$、ヘリシティ $\pm1$ の偏極ベクトル $\varepsilon^\mu$、massive ボソンにはさらに $0$）と縮約します。$\sum|\mathcal M|^2$ は、それらの組み合わせと外線の色についての和を、始状態のスピンと色の多重度で割ったものです。

外部フェルミオンが同じ役割（行／列）を担う図どうしは波動関数を共有します。その網はヘリシティのループに入る前に足し合わされます。角度やエネルギーの積分は全コアに分配されます。

フェルミオン：鎖、符号、マヨラナ

図の中で連続する各フェルミオン線は一本の鎖をなし、行スピノル（出射の $\bar u$ または入射の $\bar v$）から列スピノル（入射の $u$ または出射の $v$）へと読まれます。図どうしの相対符号は外部フェルミオンの置換のパリティで、フェルミオンループごとに $(-1)$ が付きます。

マヨラナフェルミオンや、フェルミオン数を破る結合があると、鎖に「自然な」向きはなくなります。TreeLevel は Denner, Eck, Hahn, Küblbeck（1992）の規則に従います。各鎖に任意の向きを与え、自らの向きに逆らって通る頂点は $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ を与え（$\gamma^\mu$ は符号を変え、$1$、$\gamma^5$、$\gamma^\mu\gamma^5$ は変えません）、逆向きにたどる伝播関数は $S(-p)$ を与えます。外部スピノルは鎖の中の位置と、入射か出射かによって決まります——粒子か反粒子かではありません。スピノルは $v = C\bar u^{T}$ を厳密に満たします。この条件がなければ、向きの異なる図どうしの干渉は誤りになります。結果は選んだ向きに依存せず、テスト一式は鎖の出発点を系統的に反転させてそれを確かめます。

位相空間と観測量

過程	手法	結果
$2\to2$	重心系で $\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$。$\sigma$ は $\cos\theta$ についてガウス–ルジャンドル求積、任意で $|\cos\theta|\le c$ のカット	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$、$d\sigma/d\Omega$、$\sigma$、$\sqrt s$ 走査
$1\to2$	閉じた式 $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$、$\tau$、$T_{1/2}$、BR
$1\to3$	ダリツ積分（二つの不変質量）、求積	$\Gamma$、$\tau$、$T_{1/2}$、BR
$2\to n$、$1\to n$	RAMBO モンテカルロ（質量つき位相空間の一様点）、エネルギー・対質量・角度のカット、統計誤差つき	$\sigma\pm\delta\sigma$、$\Gamma\pm\delta\Gamma$

終状態の同種粒子には $1/n!$ が掛かります。図の対称因子（$1/|\mathrm{Aut}|$）はそのグラフから計算されます。換算は $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0.389379\ \mathrm{mb}$。

記号エンジン

同じグラフは記号的にも扱われます。複素共役で閉じた各フェルミオン鎖はディラックのトレースとなり、スカラー積 $p_i\cdot p_j$ と質量に展開されます（$\gamma^5$ は $\varepsilon$ テンソル経由で、のちに縮約）。偏極和 $-g^{\mu\nu}$（massive ボソンには $+\,p^\mu p^\nu/M^2$）と色因子を適用し、分母ごとにまとめた有理式の和として得られた結果を、要求された置き換え（ゼロ質量、$u = \sum m^2 - s - t$、$c_W^2 = 1 - s_W^2$）のもとで $s, t, u$ によって書き、LaTeX で表示します。試したすべての過程で数値計算と $10^{-8}$ の精度で一致します。マヨラナ粒子の数値処理にあった干渉の誤りを見つけ、そして正させたのも、この記号エンジンでした。

検証

確かめた内容	結果
標準模型の規則と MadGraph の UFO sm の突き合わせ	129 頂点すべて一致、複素 CKM を含む
QED：$e^+e^-\to\mu^+\mu^-$、バーバ、コンプトン、$e^+e^-\to\gamma\gamma$	教科書の式（Peskin & Schroeder）。バーバは三項
$e^+e^-\to W^+W^-$	$\gamma + Z + \nu$ のゲージ相殺。$\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19.2\ \mathrm{pb}$
Z ピークでの前後非対称性	結合 $g_V$, $g_A$ から期待される値
崩壊幅 $Z\to f\bar f$、$W\to\ell\nu$、$h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	閉じた式、分岐比
ミューオン：$\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$、$\pi^0\to\gamma\gamma$：$7.79\ \mathrm{eV}$、$\pi\to\mu\nu$、$K\to\mu\nu$、$\tau\to\pi\nu,\ K\nu$：BR $10.6\ \%$、$0.70\ \%$、$D_s\to\mu\nu$ $0.54\ \%$、$\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8.9\ \mathrm{keV}$、$\Lambda\to pe\bar\nu$ は $8\ \%$ 以内、$n\to pe\bar\nu$：$946\ \mathrm s$	測定値と、ツリー準位で比較
RAMBO モンテカルロ	位相空間の体積が厳密。$2\to2$ とミューオン崩壊をモンテカルロで再現
マヨラナ：質量ゼロの $N$ で $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$、$\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$、$e^-e^-\to W^-W^-$	流れの取り方に依存しないこと、閉じた式
読み込んだ MSSM_SLHA2：$\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	SPS1a 点で 269 fb（文献は 250–300 fb）。$\tilde\chi^+\tilde\chi^-$、$\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$、$\tilde g\tilde g$ で記号 = 数値
SU(5)：$X\to uu,\ e^+\bar d$、$Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$、BR は $\tfrac12, \tfrac12$ と $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$、$\Gamma_X = \Gamma_Y$、独立な共役場との同値性（カイラリティによる厳密な因子 2）
記号と数値の突き合わせ	標準模型・MSSM・SU(5) の十数過程で $10^{-8}$

エンジンのテスト一式（百件を超える）は、変更のたびにこれらをすべて再実行します。

既知の制限

• ツリーのみ。ループも、輻射補正も、結合定数の走りもありません。Faddeev–Popov ゴーストは導出しません（ツリーでは不要）。
• パートン分布関数もハドロン化もありません。クォークを含む過程はパートン的です。Hadrons 模型はいくつかの軽いハドロンを有効的に記述します。
• 四フェルミオンの接触頂点はありません（フェルミオン頂点はどれもフェルミオンをちょうど二つ持ちます）。
• 幅は複素減算の処方なしに伝播関数へ入ります。共鳴から離れれば影響は無視できます。
• 内蔵の SU(5) 模型は X と Y のフェルミオン結合を含みますが、ゲージ自己結合は含みません。
• モンテカルロ：RAMBO の標本は一様です。極（ソフト光子）の近くでは点数を増やす必要があり、カットはそのためにあります。