チュートリアル

最初の一枚から標準模型の外側まで、四つの道筋。それぞれ十分ほどで終わります。ここに挙げる数値は、TreeLevel が実際に表示するものです。

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$：最初の計算、そして Z ピーク

1. 新規書類（⌘NCtrl Nブラウザの書類を作成ボタン）。パレットでは模型 StandardModel が選ばれています。時間の向きは 時間 → のままに。
2. 頂点ツール：キャンバスの左と右を一度ずつクリックして、頂点を二つ置きます。
3. 線ツール、粒子 $\gamma$：左の頂点から右の頂点へドラッグ。これが光子の伝播関数です。
4. 粒子 $e^-/e^+$：左下の何もないところから左の頂点へドラッグすると、パレットが「$e^-$ が入る」と告げます。左上から同じことをすると、フェルミオン流の矢印が時間をさかのぼり、その外線は入射する $e^+$ として読まれます。（二本をどちらから引いてもかまいません。効くのは矢印の向きです。）
5. 粒子 $\mu^-/\mu^+$：右の頂点から右上の何もないところへ（出射 $\mu^-$）、次に右下から頂点へ（矢印が頂点へ戻る：出射 $\mu^+$）。
6. 解析タブを見ます。過程：$e^-e^+\to\mu^-\mu^+$、図は整合。模型にない頂点だと言われたら、外線の一本が逆に読まれています。その外線を選んで 反粒子 にチェックを入れるか、端点を頂点の反対側へ動かしてください。
7. ファインマン則と振幅を開きます。頂点 $-ie\gamma^\mu$ が二つ、伝播関数 $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$、スピノル $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ と $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$。
8. 計算タブ：$\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$ で 計算。$\sigma = 62.3\ \mathrm{pb}$。手でも確かめられます。$\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ に $\alpha = 1/127.9$（$M_Z$ における模型の値）と $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3.894\times10^8\ \mathrm{pb}$ を入れると $62.3\ \mathrm{pb}$。
9. パレットに戻り、生成 ›「足りない図を追加」。Z の図が現れます。h と $G^0$ の交換も出ますが、$m_e$ に比例して無視できます（生成メニューの「スカラー交換なし」で避けられます）。以後の計算は和について行われます。
10. エネルギー依存の描画：40 から 200 GeV、300 点、対数目盛、描画。Z ピークは $\sqrt s = M_Z = 91.19\ \mathrm{GeV}$ で $1\,979\ \mathrm{pb}$ に達します。幅は模型に宣言された $\Gamma_Z = 2.495\ \mathrm{GeV}$ です。曲線は $70\ \mathrm{GeV}$ 付近で極小（$25\ \mathrm{pb}$）を通ってから共鳴へ登ります。$\gamma$–Z 干渉は小さなベクトル結合 $g_V$ に比例するので全断面積では目立ちません。見えるのは前後非対称性のほうです。

2. ミューオンの寿命

1. 新規書類、模型 StandardModel。頂点を二つ置きます。
2. 二つの頂点のあいだに $W^+/W^-$ の線を：仮想 W です。
3. 粒子 $\mu^-/\mu^+$：左の何もないところから一つ目の頂点へ（入射 $\mu^-$）。粒子 $\nu_\mu$：一つ目の頂点から外へ（出射 $\nu_\mu$）。
4. 二つ目の頂点では、出射の $e^-$（頂点から外へ）と出射の $\bar\nu_e$ ——こちらは矢印が時間をさかのぼるよう、外から頂点へ引きます。
5. 解析で確認：$\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$、整合。よくある誤りは $\bar\nu_e$ を粒子として引くことです。求められた頂点 ve e W~ は存在せず、インスペクタは存在する近い頂点（ve~ e W、e~ ve W~）を並べます。つまり、外線を一本ひっくり返せばよいわけです。
6. 計算タブ：三体崩壊なので位相空間は厳密に積分されます（ダリツ）。$\Gamma = 3.007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$、$\tau = 2.19\ \mu\mathrm s$、$T_{1/2} = 1.52\ \mu\mathrm s$。測定値は $2.197\ \mu\mathrm s$ で、差はツリーにない輻射補正によります。

応用：Hadrons 模型で W 交換による $n\to pe^-\bar\nu_e$（$g_A = 1.27$ のツリーで $\tau = 946\ \mathrm s$、測定値は $879\ \mathrm s$）や、接触頂点ひとつだけの $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$ を描いてみてください。

3. $e^+e^-\to W^+W^-$：生成し、足し合わせ、ゲージ相殺を見る

1. 新規書類。頂点を二つ置き、外線を引きます。左に入射の $e^-$ と $e^+$、右に出射の $W^-$ と $W^+$（粒子 $W^+/W^-$：頂点から外へ引けば出射 $W^+$、外から頂点へ、つまり時間に逆らって引けば出射 $W^-$）。内線はまだ描きません。
2. 生成 ›「すべてのツリー図で置き換え」：四つの図——$\gamma$、Z、h（$m_e$ に比例し無視できる）の交換と、$t$ チャネルの $\nu_e$。
3. 計算タブ、$\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$：$\sigma = 19.2\ \mathrm{pb}$。LEP と同じです（測定は輻射補正込みで $17\ \mathrm{pb}$）。
4. ニュートリノの図を消して（一覧で選び −）計算し直すと $18.1\ \mathrm{pb}$。ほとんど変わりません……$200\ \mathrm{GeV}$ では。
5. エネルギー依存の描画、170 から 1 000 GeV、対数目盛：ニュートリノを外すと $\sigma$ は増えていきます（$500\ \mathrm{GeV}$ で $118\ \mathrm{pb}$、$1\ \mathrm{TeV}$ で $385\ \mathrm{pb}$）。四つ揃えば、あるべきように減ります（$500\ \mathrm{GeV}$ で $7.1\ \mathrm{pb}$、$1\ \mathrm{TeV}$ で $2.4\ \mathrm{pb}$）。これがゲージ図どうしの相殺であり、標準模型の三ボソン結合が存在する理由です。

4. 標準模型の外へ：SU(5) と MSSM

SU(5)：クォークをレプトンに変えるボソン

1. 模型 SU5 を選びます。パレットに二つのボソンが加わります。X（電荷 $4/3$）と Y（$1/3$）、いずれも色三重項、質量 $10^{15}\ \mathrm{GeV}$。
2. $X\to uu$ を描きます。頂点一つ、入射 X、出射 u が二つ。解析：整合。規則には色因子 $\varepsilon_{abc}$ が現れます——バリオン数を破る頂点です。
3. 計算：$\Gamma(X\to uu) = 4.17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$。$X\to e^+\bar d$ を描くと同じ幅になります。分岐比 $\tfrac12/\tfrac12$ はジョージャイ–グラショーのものです。Y では $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$、そして $\Gamma_Y = \Gamma_X$。同じ二重項の二つの成員にふさわしい結果です。
4. $uu\to e^+\bar d$ を描いて生成すると三つの図（$s$ チャネルの X、$t$ と $u$ チャネルの Y）。$\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$ で $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$。解析タブは $s, t, M_X, M_Y$ による完全な記号式を返します。

模型ファイル（理論タブ）を見ると、これらの結合の書き方が分かります。荷電共役行列 $C$ を伴う双一次形式 $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ です。理論のページをご覧ください。

MSSM：UFO を読み込む

1. FeynRules の模型データベースから UFO フォルダ MSSM_SLHA2 を入手します（MadGraph に付属する UFO 模型でも構いません）。パレットの 📁 UFO フォルダを読み込む を押し、そのフォルダを選びます。
2. 一秒後に「UFO を読み込みました：50 個の場、822 個の頂点」。模型はマイモデルに現れ、パレットにはニュートラリーノ、チャージーノ、スクォーク、スレプトン、グルイーノが PDG 番号つきで並びます（$\tilde\chi^0_1$ は 1000022 など）。
3. $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ を描き（出射の n1 が二本。ニュートラリーノはマヨラナ粒子なので反粒子はありません）、生成 を押します。$s$ チャネルの Z 交換、$t$ と $u$ チャネルの $\tilde e_L$・$\tilde e_R$。
4. $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$ で計算：SPS1a 点で $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$。線形加速器のための研究が示す範囲に収まります。外部スピノルの行と列の役割は図ごとに入れ替わりますが、TreeLevel は Denner のフェルミオン流の規則に従うので、結果は選んだ向きに依りません。