Физика и методы

Что именно вычисляет TreeLevel, каким образом и с чем это сверено.

Область применимости

TreeLevel вычисляет амплитуды древесного уровня (без петель) для начальных и конечных состояний из элементарных или эффективных частиц модели: рассеяния $2\to n$ и распады $1\to n$. Результаты — сечения в пикобарнах (партонные, как только появляются кварки: партонных функций распределения нет), парциальные ширины в ГэВ, времена жизни в секундах ($\hbar = 6{,}582\times10^{-25}\ \text{ГэВ}\,\text{с}$) и относительные вероятности, если модель объявляет полную ширину. Объявленные ширины резонансов входят в пропагаторы ($-iM\Gamma$ в знаменателе); диаграммы одного процесса складываются согласованно, со своими относительными знаками.

Соглашения

Метрика	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
Матрицы Дирака	вейлевский (киральный) базис, как в ALOHA; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
Правило вершины	$i\times{}$(слагаемое лагранжиана без полей), все импульсы входящие, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
Пропагаторы	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(скаляр)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(фермион)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(вектор)}$$ в калибровке Фейнмана; в унитарной калибровке у вектора добавляется член $-p^\mu p^\nu/M^2$.
Стандартная модель	соглашения FeynRules, калибровка Фейнмана — 'т Хоофта: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
Параметры	из UFO sm: $\alpha^{-1} = 127{,}9$, $G_F = 1{,}16637\times10^{-5}\ \text{ГэВ}^{-2}$, $M_Z = 91{,}1876\ \text{ГэВ}$, $M_W$ выводится
Цвет	$T^a = \lambda^a/2$, обычные $f^{abc}$, $\varepsilon_{ijk}$ для триплетов; по внешним цветовым индексам идёт суммирование, по начальному состоянию — усреднение (3 на кварк, 8 на глюон)

Численные амплитуды

В заданной кинематической точке каждая диаграмма — это тензорная сеть: правила вершин (вычисленные численно с импульсами внешних линий), пропагаторы и цветовые дельты внутренних линий. Сеть сворачивается по внутренним индексам в «жадном» порядке (всегда берётся тензор, у которого больше всего общих индексов с текущим результатом), что позволяет не образовывать больших внешних произведений — на четырёхглюонных вершинах это даёт выигрыш в 25 раз. Сама сеть не зависит от спиральностей: она вычисляется один раз, а затем для каждой конфигурации спиральностей сворачивается с внешними волновыми функциями (спиноры $u, v, \bar u, \bar v$ спиральности $\pm\tfrac12$; векторы поляризации $\varepsilon^\mu$ спиральности $\pm1$ и $0$ для массивных бозонов). $\sum|\mathcal M|^2$ — сумма по этим конфигурациям и по внешним цветам, делённая на спиновую и цветовую кратность начального состояния.

Диаграммы, у которых внешние фермионы играют одни и те же роли (строка/столбец), делят волновые функции: их сети складываются до цикла по спиральностям. Интегрирования по углу или энергии распределяются по всем ядрам.

Фермионы: цепочки, знаки, Майорана

Каждая непрерывная фермионная линия диаграммы образует цепочку, читаемую от спинора-строки (выходящий $\bar u$ или входящий $\bar v$) к спинору-столбцу (входящий $u$ или выходящий $v$). Относительный знак между диаграммами — чётность перестановки внешних фермионов и $(-1)$ за каждую фермионную петлю.

С майорановскими фермионами или связями, нарушающими фермионное число, у цепочки больше нет «естественного» направления. TreeLevel следует правилам Деннера, Эка, Хана и Кюблбека (1992): каждая цепочка ориентируется произвольно; вершина, пройденная против собственной ориентации, даёт $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ ($\gamma^\mu$ меняет знак, а $1$, $\gamma^5$ и $\gamma^\mu\gamma^5$ — нет), пропагатор, пройденный обратно, даёт $S(-p)$, а внешние спиноры зависят от места в цепочке и от того, входящая линия или выходящая, — но не от того, частица это или античастица. Спиноры точно удовлетворяют $v = C\bar u^{T}$; без этого условия интерференции между диаграммами разной ориентации оказываются неверными. Результат не зависит от выбранной ориентации, и набор тестов это проверяет, систематически меняя начальную точку цепочек.

Фазовый объём и наблюдаемые

Процесс	Метод	Результат
$2\to2$	$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$ в системе центра масс; $\sigma$ квадратурой Гаусса — Лежандра по $\cos\theta$, отбор $|\cos\theta|\le c$ по желанию	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; проход по $\sqrt s$
$1\to2$	замкнутая формула $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	интегрирование по Далицу (две инвариантные массы), квадратура	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	метод Монте-Карло RAMBO (равномерные точки в массивном фазовом объёме), отборы по энергии, массе пары и углу, статистическая погрешность	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

Тождественные частицы в конечном состоянии получают множитель $1/n!$; фактор симметрии диаграммы ($1/|\mathrm{Aut}|$) вычисляется по её графу. Перевод: $1\ \text{ГэВ}^{-2} = 0{,}389379\ \text{мб}$.

Символьное ядро

Тот же граф обрабатывается и символьно: каждая фермионная цепочка, замкнутая комплексным сопряжением, превращается в след Дирака, разложенный по скалярным произведениям $p_i\cdot p_j$ и массам ($\gamma^5$ — через тензор $\varepsilon$, который затем сворачивается); применяются суммы по поляризациям $-g^{\mu\nu}$ ($+\,p^\mu p^\nu/M^2$ для массивных бозонов) и цветовые множители; результат — сумма рациональных дробей, сгруппированных по знаменателю, — записывается через $s, t, u$ с требуемыми подстановками (нулевые массы, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) и выводится в LaTeX. Он совпадает с численным расчётом с точностью $10^{-8}$ на всех проверенных процессах — и именно он позволил обнаружить, а затем исправить, ошибку интерференции в численной обработке майорановских частиц.

Проверки

Что проверяется	Результат
Правила Стандартной модели против UFO sm из MadGraph	129 вершин из 129 совпадают, включая комплексную CKM
КЭД: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, Бхабха, Комптон, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	формулы учебников (Пескин и Шрёдер); Бхабха в трёх членах
$e^+e^-\to W^+W^-$	калибровочное сокращение $\gamma + Z + \nu$; $\sigma(200\ \text{ГэВ}) = 19{,}2\ \text{пб}$
Асимметрия вперёд–назад на пике Z	значение, ожидаемое из связей $g_V$, $g_A$
Ширины $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	замкнутые формулы, относительные вероятности
Мюон: $\tau = 2{,}19\ \text{мкс}$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7{,}79\ \text{эВ}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10{,}6\ \%$, $0{,}70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0{,}54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8{,}9\ \text{кэВ}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ с точностью $8\ \%$; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \text{с}$	измерения, на древесном уровне
Монте-Карло RAMBO	точные объёмы фазового пространства; $2\to2$ и распад мюона воспроизведены методом МК
Майорана: $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$ для безмассового $N$; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	независимость от потока, замкнутые формулы
Импортированная MSSM_SLHA2: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \text{ГэВ})$	269 фб в точке SPS1a (в литературе 250–300 фб); символьно = численно для $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ и $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; эквивалентность с независимым сопряжённым полем (точный множитель 2 от киральностей)
Символьное против численного	$10^{-8}$ на десятке процессов: СМ, MSSM и SU(5)

Набор тестов ядра (более ста случаев) прогоняет всё это при каждом изменении.

Известные ограничения

• Только древесный уровень: ни петель, ни радиационных поправок, ни эволюции констант связи. Духи Фаддеева — Попова не выводятся (на древесном уровне не нужны).
• Ни партонных функций распределения, ни адронизации: процессы с кварками партонные; модель Hadrons даёт эффективное описание нескольких лёгких адронов.
• Нет четырёхфермионных контактных вершин (в каждой фермионной вершине ровно два фермиона).
• Ширины входят в пропагаторы без схемы комплексного вычитания; вне резонанса эффект пренебрежимо мал.
• Встроенная модель SU(5) содержит фермионные связи X и Y, но не их калибровочные самосвязи.
• Монте-Карло: выборка RAMBO равномерна; вблизи полюсов (мягкие фотоны) число точек приходится увеличивать — для того и отборы.