Física e métodos

O que o TreeLevel calcula exatamente, como faz isso e contra o que foi verificado.

Alcance

O TreeLevel calcula amplitudes em nível de árvore (sem laços), para estados inicial e final de partículas elementares ou efetivas do modelo: espalhamentos $2\to n$ e decaimentos $1\to n$. Os resultados são seções de choque em picobarns (partônicas quando há quarks: sem funções de distribuição partônica), larguras parciais em GeV, vidas médias em segundos ($\hbar = 6{,}582\times10^{-25}\ \mathrm{GeV\,s}$) e razões de ramificação quando o modelo declara a largura total. As larguras de ressonância declaradas entram nos propagadores ($-iM\Gamma$ no denominador); os diagramas de um mesmo processo são somados de forma coerente, com seus sinais relativos.

Convenções

Métrica	$g_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, $\varepsilon^{0123} = +1$
Matrizes de Dirac	base de Weyl (quiral), como no ALOHA; $\gamma^5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$, $P_{L,R} = \tfrac12(1\mp\gamma^5)$
Regra de vértice	$i\times{}$(termo da lagrangiana, retirados os campos), todos os momentos entrando, $\partial_\mu \to -ip_\mu$
Propagadores	$$\frac{i}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(escalar)},\qquad \frac{i(\not p+m)}{p^2-m^2+iM\Gamma}\ \text{(férmion)},\qquad \frac{-ig^{\mu\nu}}{p^2-M^2+iM\Gamma}\ \text{(vetor)}$$ em gauge de Feynman; em gauge unitário, o vetor recebe o termo $-p^\mu p^\nu/M^2$.
Modelo padrão	convenções do FeynRules, gauge de Feynman–'t Hooft: $$D_\mu = \partial_\mu - ig_sT^aG^a_\mu - i\frac{e}{s_W}\frac{\sigma^i}{2}W^i_\mu - i\frac{e}{c_W}YB_\mu,\qquad \Phi = \begin{pmatrix}-iG^+\\[2pt] (v+h+iG^0)/\sqrt2\end{pmatrix}$$
Parâmetros	os do UFO sm: $\alpha^{-1} = 127{,}9$, $G_F = 1{,}16637\times10^{-5}\ \mathrm{GeV^{-2}}$, $M_Z = 91{,}1876\ \mathrm{GeV}$, $M_W$ derivada
Cor	$T^a = \lambda^a/2$, $f^{abc}$ padrão, $\varepsilon_{ijk}$ para os tripletos; os índices de cor externos são somados e o estado inicial é mediado (3 por quark, 8 por glúon)

Amplitudes numéricas

Para um dado ponto cinemático, cada diagrama é uma rede de tensores: as regras dos vértices (avaliadas numericamente com os momentos das pernas), os propagadores e as deltas de cor das linhas internas. A rede é contraída sobre seus índices internos numa ordem gulosa (sempre o tensor que compartilha mais índices com o resultado em curso), o que evita formar grandes produtos exteriores — os vértices de quatro glúons ganham aí um fator 25. Essa rede não depende das helicidades: é calculada uma vez e depois contraída com as funções de onda externas (espinores $u, v, \bar u, \bar v$ de helicidade $\pm\tfrac12$; vetores de polarização $\varepsilon^\mu$ de helicidade $\pm1$, e $0$ para os bósons massivos) para cada configuração de helicidades. $\sum|\mathcal M|^2$ é a soma sobre essas configurações e sobre as cores externas, dividida pela multiplicidade de spin e de cor do estado inicial.

Os diagramas cujos férmions externos desempenham os mesmos papéis (linha/coluna) compartilham suas funções de onda: suas redes são somadas antes do laço sobre as helicidades. As integrações em ângulo ou em energia são distribuídas por todos os núcleos.

Férmions: cadeias, sinais, Majorana

Cada linha fermiônica contínua de um diagrama forma uma cadeia lida do espinor de linha ($\bar u$ saindo ou $\bar v$ entrando) ao espinor de coluna ($u$ entrando ou $v$ saindo). O sinal relativo entre diagramas é a paridade da permutação dos férmions externos, mais $(-1)$ por laço fermiônico.

Com férmions de Majorana ou acoplamentos que violam o número fermiônico, uma cadeia deixa de ter sentido “natural”. O TreeLevel segue as regras de Denner, Eck, Hahn e Küblbeck (1992): cada cadeia é orientada arbitrariamente; um vértice atravessado contra a própria orientação dá $\Gamma' = C\Gamma^{T}C^{-1}$ ($\gamma^\mu$ troca de sinal; $1$, $\gamma^5$ e $\gamma^\mu\gamma^5$ não), um propagador percorrido ao contrário dá $S(-p)$, e os espinores externos dependem da posição na cadeia e do caráter entrante/saliente — não de ser partícula ou antipartícula. Os espinores satisfazem $v = C\bar u^{T}$ exatamente, condição sem a qual as interferências entre diagramas de orientações diferentes ficam erradas. O resultado não depende da orientação escolhida, e a suíte de testes verifica isso invertendo sistematicamente o ponto de partida das cadeias.

Espaço de fases e observáveis

Processo	Método	Resultado
$2\to2$	$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \dfrac{|\mathcal M|^2\,|\mathbf p_f|}{64\pi^2 s\,|\mathbf p_i|}$ no centro de massa; $\sigma$ por quadratura de Gauss–Legendre em $\cos\theta$, corte $|\cos\theta|\le c$ opcional	$\langle|\mathcal M|^2\rangle(\cos\theta)$, $d\sigma/d\Omega$, $\sigma$; varredura em $\sqrt s$
$1\to2$	fórmula fechada $\Gamma = \dfrac{|\mathbf p|\,|\mathcal M|^2}{8\pi M^2}$	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$1\to3$	integração de Dalitz (duas massas invariantes), quadratura	$\Gamma$, $\tau$, $T_{1/2}$, BR
$2\to n$, $1\to n$	Monte Carlo RAMBO (pontos uniformes no espaço de fases massivo), cortes em energia, massa de par e ângulo, erro estatístico	$\sigma\pm\delta\sigma$, $\Gamma\pm\delta\Gamma$

Partículas idênticas no estado final recebem o fator $1/n!$; o fator de simetria de um diagrama ($1/|\mathrm{Aut}|$) é calculado sobre seu grafo. Conversão: $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}389379\ \mathrm{mb}$.

Motor simbólico

O mesmo grafo também é tratado simbolicamente: cada cadeia fermiônica fechada pela conjugação complexa vira um traço de Dirac, desenvolvido em produtos escalares $p_i\cdot p_j$ e massas ($\gamma^5$ pelo tensor $\varepsilon$, contraído em seguida); aplicam-se as somas de polarização $-g^{\mu\nu}$ ($+\,p^\mu p^\nu/M^2$ para os bósons massivos) e os fatores de cor; o resultado, uma soma de frações racionais agrupadas por denominador, é escrito em $s, t, u$ com as substituições pedidas (massas nulas, $u = \sum m^2 - s - t$, $c_W^2 = 1 - s_W^2$) e apresentado em LaTeX. Ele coincide com o cálculo numérico até $10^{-8}$ em todos os processos testados — e foi justamente ele que permitiu detectar, e depois corrigir, um erro de interferência no tratamento numérico dos Majorana.

Validações

O que é verificado	Resultado
Regras do Modelo padrão contra o UFO sm do MadGraph	129 vértices de 129 idênticos, CKM complexa incluída
QED: $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$, Bhabha, Compton, $e^+e^-\to\gamma\gamma$	fórmulas dos manuais (Peskin & Schroeder); Bhabha em três termos
$e^+e^-\to W^+W^-$	cancelamento de gauge $\gamma + Z + \nu$; $\sigma(200\ \mathrm{GeV}) = 19{,}2\ \mathrm{pb}$
Assimetria frente-trás no pico do Z	o valor esperado dos acoplamentos $g_V$, $g_A$
Larguras $Z\to f\bar f$, $W\to\ell\nu$, $h\to b\bar b,\ \tau\tau,\ WW^*,\ ZZ^*$	fórmulas fechadas, razões de ramificação
Múon: $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$; $\pi^0\to\gamma\gamma$: $7{,}79\ \mathrm{eV}$; $\pi\to\mu\nu$; $K\to\mu\nu$; $\tau\to\pi\nu,\ K\nu$: BR $10{,}6\ \%$, $0{,}70\ \%$; $D_s\to\mu\nu$ $0{,}54\ \%$; $\Sigma^0\to\Lambda\gamma$ $8{,}9\ \mathrm{keV}$; $\Lambda\to pe\bar\nu$ a $8\ \%$; $n\to pe\bar\nu$: $946\ \mathrm s$	medidas, em nível de árvore
Monte Carlo RAMBO	volumes de espaço de fases exatos; $2\to2$ e decaimento do múon reencontrados por MC
Majorana: $\Gamma(Z\to NN) = \Gamma(Z\to\nu\bar\nu)$ para $N$ sem massa; $\Gamma(N\to\ell^\mp W^\pm)$; $e^-e^-\to W^-W^-$	independência do fluxo, fórmulas fechadas
MSSM_SLHA2 importado: $\sigma(e^+e^-\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1,\ 500\ \mathrm{GeV})$	269 fb no SPS1a (literatura: 250–300 fb); simbólico = numérico em $\tilde\chi^+\tilde\chi^-$, $\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_2$, $\tilde g\tilde g$
SU(5): $X\to uu,\ e^+\bar d$; $Y\to ud,\ e^+\bar u,\ \bar\nu\bar d$	$\Gamma = g_5^2M/(24\pi)$; BR $\tfrac12, \tfrac12$ e $\tfrac12, \tfrac14, \tfrac14$; $\Gamma_X = \Gamma_Y$; equivalência com um campo conjugado independente (fator 2 exato das quiralidades)
Simbólico contra numérico	$10^{-8}$ em uma dúzia de processos, MP, MSSM e SU(5)

A suíte de testes do motor (mais de cem casos) repete tudo isso a cada modificação.

Limites conhecidos

• Somente árvore: sem laços, sem correções radiativas, sem evolução dos acoplamentos. Os fantasmas de Faddeev–Popov não são derivados (desnecessários em nível de árvore).
• Sem funções de distribuição partônica nem hadronização: os processos com quarks são partônicos; o modelo Hadrons oferece uma descrição efetiva de alguns hádrons leves.
• Sem vértices de contato de quatro férmions (cada vértice fermiônico tem exatamente dois férmions).
• As larguras entram nos propagadores sem esquema de subtração complexo; fora da ressonância o efeito é desprezível.
• O modelo SU(5) embutido traz os acoplamentos fermiônicos de X e Y, não os seus autoacoplamentos de gauge.
• Monte Carlo: a amostragem RAMBO é uniforme; perto dos polos (fótons moles) o número de pontos precisa crescer — é para isso que servem os cortes.