Tutoriais

Quatro percursos, do primeiro diagrama à física além do Modelo padrão. Cada um leva uns dez minutos; os números citados são os que o TreeLevel mostra.

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$: um primeiro cálculo e depois o pico do Z

1. Documento novo (⌘NCtrl Nbotão Criar documento do navegador). Na paleta, o modelo StandardModel já está selecionado; deixe o sentido do tempo em tempo →.
2. Ferramenta Vértice: clique duas vezes na área de desenho, à esquerda e à direita, para pôr dois vértices.
3. Ferramenta Linha, partícula $\gamma$: arraste do vértice da esquerda para o da direita. É o propagador do fóton.
4. Partícula $e^-/e^+$: arraste do vazio, embaixo à esquerda, até o vértice da esquerda — a paleta anuncia “entra um $e^-$”. Repita a partir de cima à esquerda: a flecha do fluxo fermiônico vai subir o tempo e a perna será lida como um $e^+$ entrante. (A ordem em que você traça as duas pernas não importa: o que conta é o sentido da flecha.)
5. Partícula $\mu^-/\mu^+$: arraste do vértice da direita para o vazio, em cima à direita ($\mu^-$ saindo), e depois do vazio embaixo à direita até o vértice (a flecha volta ao vértice: $\mu^+$ saindo).
6. Olhe a aba Análise: Processo: $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, Diagrama coerente. Se a análise apontar um vértice inexistente, uma das pernas está sendo lida ao contrário: selecione-a e marque Antipartícula, ou leve a extremidade dela para o outro lado do vértice.
7. Abra Regras de Feynman e amplitude: o vértice $-ie\gamma^\mu$ duas vezes, o propagador $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, os espinores $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ e $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$.
8. Aba Cálculo: $\sqrt s = 40\ \mathrm{GeV}$, Calcular. $\sigma = 62{,}3\ \mathrm{pb}$. Confira na mão: $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ com $\alpha = 1/127{,}9$ (o valor do modelo em $M_Z$) e $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 3{,}894\times10^8\ \mathrm{pb}$ dá $62{,}3\ \mathrm{pb}$.
9. Volte à paleta e clique em Gerar › Acrescentar os diagramas que faltam: aparece o diagrama com o Z — e também as trocas de h e de $G^0$, proporcionais a $m_e$ e desprezíveis (a opção Sem troca de escalares do menu Gerar evita-as). O cálculo passa a ser o da soma.
10. Traçado em função da energia: de 40 a 200 GeV, 300 pontos, escala logarítmica, Traçar. O pico do Z culmina em $1\,979\ \mathrm{pb}$ em $\sqrt s = M_Z = 91{,}19\ \mathrm{GeV}$, com a largura $\Gamma_Z = 2{,}495\ \mathrm{GeV}$ declarada no modelo. A curva passa por um mínimo perto de $70\ \mathrm{GeV}$ ($25\ \mathrm{pb}$) antes de subir para a ressonância; a interferência $\gamma$–Z, proporcional aos pequenos acoplamentos vetoriais $g_V$, fica discreta na $\sigma$ total — onde ela se vê é na assimetria frente-trás.

2. A vida média do múon

1. Documento novo, modelo StandardModel. Ponha dois vértices.
2. Linha $W^+/W^-$ entre os dois vértices: um W virtual.
3. Partícula $\mu^-/\mu^+$: arraste do vazio, à esquerda, até o primeiro vértice ($\mu^-$ entrando). Partícula $\nu_\mu$: arraste do primeiro vértice para o vazio ($\nu_\mu$ saindo).
4. No segundo vértice: $e^-$ saindo (do vértice para o vazio) e $\bar\nu_e$ saindo — trace a perna do vazio até o vértice para que a flecha suba o tempo.
5. Verifique em Análise: $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, coerente. Um erro clássico é traçar o $\bar\nu_e$ como partícula: o vértice ve e W~ pedido não existe, e o inspetor lista os vértices vizinhos que existem (ve~ e W, e~ ve W~) — ou seja, há uma perna a inverter.
6. Aba Cálculo: o decaimento é de três corpos, o espaço de fases é integrado exatamente (Dalitz). $\Gamma = 3{,}007\times10^{-19}\ \mathrm{GeV}$, $\tau = 2{,}19\ \mu\mathrm s$, $T_{1/2} = 1{,}52\ \mu\mathrm s$. O valor medido é $2{,}197\ \mu\mathrm s$; a diferença vem das correções radiativas, ausentes em nível de árvore.

Variante: no modelo Hadrons, desenhe $n\to pe^-\bar\nu_e$ por troca de W ($\tau = 946\ \mathrm s$ em nível de árvore com $g_A = 1{,}27$, contra $879\ \mathrm s$ medidos) ou $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, que tem apenas um vértice de contato.

3. $e^+e^-\to W^+W^-$: gerar, somar e ver o cancelamento de gauge

1. Documento novo. Ponha dois vértices e trace as pernas externas: $e^-$ e $e^+$ entrando à esquerda, $W^-$ e $W^+$ saindo à direita (partícula $W^+/W^-$: traçada do vértice para o vazio, a linha é um $W^+$ saindo; do vazio para o vértice, isto é, contra o tempo, um $W^-$ saindo). Não desenhe ainda nenhuma linha interna.
2. Gerar › Substituir por todos os diagramas em nível de árvore: quatro diagramas — troca de $\gamma$, de Z, de h (desprezível, $\propto m_e$) e de $\nu_e$ no canal $t$.
3. Aba Cálculo, $\sqrt s = 200\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 19{,}2\ \mathrm{pb}$, como no LEP ($17\ \mathrm{pb}$ medidos, com correções radiativas).
4. Apague o diagrama do neutrino (selecione-o na lista, −) e recalcule: $18{,}1\ \mathrm{pb}$. Quase nada muda… a $200\ \mathrm{GeV}$.
5. Traçado em função da energia, de 170 a 1 000 GeV, escala logarítmica: sem o neutrino, $\sigma$ cresce ($118\ \mathrm{pb}$ a $500\ \mathrm{GeV}$, $385\ \mathrm{pb}$ a $1\ \mathrm{TeV}$); com os quatro diagramas, decresce como deve ($7{,}1\ \mathrm{pb}$ a $500\ \mathrm{GeV}$, $2{,}4\ \mathrm{pb}$ a $1\ \mathrm{TeV}$). É o cancelamento entre os diagramas de gauge, e a razão de ser dos acoplamentos de três bósons do Modelo padrão.

4. Além do Modelo padrão: SU(5) e o MSSM

SU(5): um bóson que transforma quarks em léptons

1. Escolha o modelo SU5. A paleta ganha dois bósons, X (carga $4/3$) e Y ($1/3$), tripletos de cor, de massa $10^{15}\ \mathrm{GeV}$.
2. Desenhe $X\to uu$: um vértice, X entrando, dois u saindo. Análise: coerente, com o fator de cor $\varepsilon_{abc}$ na regra — um vértice que viola o número bariônico.
3. Cálculo: $\Gamma(X\to uu) = 4{,}17\times10^{12}\ \mathrm{GeV}$. Desenhe $X\to e^+\bar d$: a mesma largura. As razões de ramificação $\tfrac12/\tfrac12$ são as de Georgi–Glashow; para Y você encontrará $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$, e $\Gamma_Y = \Gamma_X$, como convém a dois membros de um mesmo dubleto.
4. Desenhe $uu\to e^+\bar d$ e gere: três diagramas (X no canal $s$, Y nos canais $t$ e $u$). Em $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \mathrm{GeV}$, $\sigma = 7\times10^{-26}\ \mathrm{pb}$; a aba Análise dá a expressão simbólica completa em $s, t, M_X, M_Y$.

O arquivo do modelo (aba Teoria) mostra como se escrevem esses acoplamentos: bilineares $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ com a matriz de conjugação de carga $C$. Veja a página Teorias.

MSSM: importar um UFO

1. Baixe a pasta UFO MSSM_SLHA2 do banco de modelos do FeynRules (ou qualquer modelo UFO que venha com o MadGraph). Na paleta, botão 📁 Importar uma pasta UFO, escolha a pasta.
2. Um segundo depois: “UFO importado: 50 campos, 822 vértices”. O modelo aparece em Meus modelos, e a paleta lista neutralinos, charginos, squarks, sléptons e o gluíno, com seus códigos PDG (1000022 para $\tilde\chi^0_1$…).
3. Desenhe $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ (duas pernas n1 saindo; o neutralino é de Majorana, não há antipartícula) e depois Gerar: troca de Z no canal $s$, de $\tilde e_L$ e $\tilde e_R$ nos canais $t$ e $u$.
4. Cálculo em $\sqrt s = 500\ \mathrm{GeV}$: $\sigma = 269\ \mathrm{fb}$ no ponto SPS1a, dentro da faixa dos estudos para um colisor linear. Os papéis de linha e coluna dos espinores externos mudam de um diagrama para outro: o TreeLevel aplica as regras de fluxo fermiônico de Denner, e o resultado não depende da orientação escolhida.