Уроки

Четыре маршрута — от первой диаграммы до физики за пределами Стандартной модели. Каждый занимает минут десять; приведённые числа — те, что показывает TreeLevel.

1. $e^+e^-\to\mu^+\mu^-$: первый расчёт, затем пик Z

1. Новый документ (⌘NCtrl Nкнопка Создать документ в обозревателе). В палитре уже выбрана модель StandardModel; оставьте направление времени на время →.
2. Инструмент Вершина: щёлкните дважды по холсту, слева и справа, чтобы поставить две вершины.
3. Инструмент Линия, частица $\gamma$: протяните от левой вершины к правой. Это пропагатор фотона.
4. Частица $e^-/e^+$: протяните из пустоты слева внизу к левой вершине — палитра сообщит «входит $e^-$». Повторите слева сверху: стрелка фермионного потока пойдёт назад во времени, и линия будет прочитана как входящий $e^+$. (Порядок, в котором вы проводите две линии, неважен: важно направление стрелки.)
5. Частица $\mu^-/\mu^+$: протяните от правой вершины в пустоту справа вверху (выходящий $\mu^-$), затем из пустоты справа внизу к вершине (стрелка возвращается к вершине: выходящий $\mu^+$).
6. Взгляните на вкладку Анализ: Процесс: $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$, диаграмма согласована. Если анализ сообщает о несуществующей вершине, одна из внешних линий читается наоборот: выделите её и отметьте Античастица либо перенесите её конец на другую сторону вершины.
7. Разверните Правила Фейнмана и амплитуда: вершина $-ie\gamma^\mu$ дважды, пропагатор $-ig_{\mu\nu}/(p_1+p_2)^2$, спиноры $\bar v(p_2)\ldots u(p_1)$ и $\bar u(p_3)\ldots v(p_4)$.
8. Вкладка Расчёт: $\sqrt s = 40\ \text{ГэВ}$, Вычислить. $\sigma = 62{,}3\ \text{пб}$. Проверьте вручную: $\sigma = 4\pi\alpha^2/3s$ с $\alpha = 1/127{,}9$ (значение модели при $M_Z$) и $1\ \text{ГэВ}^{-2} = 3{,}894\times10^8\ \text{пб}$ даёт $62{,}3\ \text{пб}$.
9. Вернитесь в палитру и выберите Сгенерировать › Добавить недостающие диаграммы: появляется диаграмма с Z, а также обмены h и $G^0$, пропорциональные $m_e$ и пренебрежимо малые (их убирает пункт Без обмена скалярами в меню генерации). Теперь расчёт идёт по сумме.
10. График по энергии: от 40 до 200 ГэВ, 300 точек, логарифмическая шкала, Построить. Пик Z достигает $1\,979\ \text{пб}$ при $\sqrt s = M_Z = 91{,}19\ \text{ГэВ}$, с шириной $\Gamma_Z = 2{,}495\ \text{ГэВ}$, объявленной в модели. Кривая проходит через минимум около $70\ \text{ГэВ}$ ($25\ \text{пб}$), прежде чем подняться к резонансу; интерференция $\gamma$–Z, пропорциональная малым векторным константам $g_V$, в полном сечении остаётся незаметной — она видна в асимметрии вперёд–назад.

2. Время жизни мюона

1. Новый документ, модель StandardModel. Поставьте две вершины.
2. Линия $W^+/W^-$ между вершинами: виртуальный W.
3. Частица $\mu^-/\mu^+$: протяните из пустоты слева к первой вершине (входящий $\mu^-$). Частица $\nu_\mu$: протяните от первой вершины в пустоту (выходящий $\nu_\mu$).
4. У второй вершины: выходящий $e^-$ (от вершины в пустоту) и выходящий $\bar\nu_e$ — тяните линию из пустоты к вершине, чтобы стрелка шла назад во времени.
5. Проверьте во вкладке Анализ: $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$, согласовано. Классическая ошибка — нарисовать $\bar\nu_e$ как частицу: запрошенной вершины ve e W~ не существует, и инспектор перечислит соседние, которые есть (ve~ e W, e~ ve W~) — иначе говоря, одну линию надо развернуть.
6. Вкладка Расчёт: распад трёхчастичный, фазовый объём интегрируется точно (Далиц). $\Gamma = 3{,}007\times10^{-19}\ \text{ГэВ}$, $\tau = 2{,}19\ \text{мкс}$, $T_{1/2} = 1{,}52\ \text{мкс}$. Измеренное значение $2{,}197\ \text{мкс}$; разница — радиационные поправки, которых на древесном уровне нет.

Вариант: в модели Hadrons нарисуйте $n\to pe^-\bar\nu_e$ через обмен W ($\tau = 946\ \text{с}$ на древесном уровне при $g_A = 1{,}27$ против измеренных $879\ \text{с}$) или $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$, где всего одна контактная вершина.

3. $e^+e^-\to W^+W^-$: построить, сложить и увидеть калибровочное сокращение

1. Новый документ. Поставьте две вершины и проведите внешние линии: входящие $e^-$ и $e^+$ слева, выходящие $W^-$ и $W^+$ справа (частица $W^+/W^-$: проведённая от вершины в пустоту линия — выходящий $W^+$; из пустоты к вершине, то есть против времени, — выходящий $W^-$). Внутреннюю линию пока не рисуйте.
2. Сгенерировать › Заменить всеми древесными диаграммами: четыре диаграммы — обмен $\gamma$, Z, h (пренебрежимо мал, $\propto m_e$) и $\nu_e$ в $t$-канале.
3. Вкладка Расчёт, $\sqrt s = 200\ \text{ГэВ}$: $\sigma = 19{,}2\ \text{пб}$, как на LEP (измерено $17\ \text{пб}$, с радиационными поправками).
4. Удалите диаграмму с нейтрино (выделите её в списке, −) и пересчитайте: $18{,}1\ \text{пб}$. Почти ничего не меняется… при $200\ \text{ГэВ}$.
5. График по энергии, от 170 до 1 000 ГэВ, логарифмическая шкала: без нейтрино $\sigma$ растёт ($118\ \text{пб}$ при $500\ \text{ГэВ}$, $385\ \text{пб}$ при $1\ \text{ТэВ}$); со всеми четырьмя диаграммами она падает, как и должна ($7{,}1\ \text{пб}$ при $500\ \text{ГэВ}$, $2{,}4\ \text{пб}$ при $1\ \text{ТэВ}$). Это и есть сокращение между калибровочными диаграммами — и смысл существования трёхбозонных вершин Стандартной модели.

4. За пределами Стандартной модели: SU(5) и MSSM

SU(5): бозон, превращающий кварки в лептоны

1. Выберите модель SU5. В палитре появляются два бозона, X (заряд $4/3$) и Y ($1/3$), цветовые триплеты с массой $10^{15}\ \text{ГэВ}$.
2. Нарисуйте $X\to uu$: одна вершина, входящий X, два выходящих u. Анализ: согласовано, с цветовым множителем $\varepsilon_{abc}$ в правиле — вершина, нарушающая барионное число.
3. Расчёт: $\Gamma(X\to uu) = 4{,}17\times10^{12}\ \text{ГэВ}$. Нарисуйте $X\to e^+\bar d$: та же ширина. Относительные вероятности $\tfrac12/\tfrac12$ — это результат Джорджи — Глэшоу; для Y вы получите $\tfrac12\ (ud),\ \tfrac14\ (e^+\bar u),\ \tfrac14\ (\bar\nu\bar d)$ и $\Gamma_Y = \Gamma_X$, как и подобает двум членам одного дублета.
4. Нарисуйте $uu\to e^+\bar d$ и постройте: три диаграммы (X в $s$-канале, Y в $t$- и $u$-каналах). При $\sqrt s = 2\times10^{15}\ \text{ГэВ}$ $\sigma = 7\times10^{-26}\ \text{пб}$; вкладка «Анализ» даёт полное символьное выражение через $s, t, M_X, M_Y$.

Файл модели (вкладка Теория) показывает, как записываются такие связи: билинейные формы $\psi^TC\gamma^\mu P_L\chi$ с матрицей зарядового сопряжения $C$. См. страницу Теории.

MSSM: импорт UFO

1. Скачайте папку UFO MSSM_SLHA2 из базы моделей FeynRules (или любую модель UFO из поставки MadGraph). В палитре нажмите 📁 Импортировать папку UFO и выберите папку.
2. Через секунду: «UFO импортирован: 50 полей, 822 вершины». Модель появляется в разделе Мои модели, а палитра перечисляет нейтралино, чарджино, скварки, слептоны и глюино с их кодами PDG (1000022 для $\tilde\chi^0_1$…).
3. Нарисуйте $e^-e^+\to\tilde\chi^0_1\tilde\chi^0_1$ (две выходящие линии n1; нейтралино — майорановская частица, античастицы нет), затем Сгенерировать: обмен Z в $s$-канале, $\tilde e_L$ и $\tilde e_R$ в $t$- и $u$-каналах.
4. Расчёт при $\sqrt s = 500\ \text{ГэВ}$: $\sigma = 269\ \text{фб}$ в точке SPS1a — в диапазоне исследований для линейного коллайдера. Роли строки и столбца у внешних спиноров меняются от диаграммы к диаграмме: TreeLevel применяет правила фермионного потока Деннера, и результат не зависит от выбранной ориентации.