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Calcular um processo

Desenhar, verificar, calcular — o que faz o espaço Cálculo. Do diagrama à seção de choque, passando pelas regras que o modelo produz.

Desenhar um diagrama

A tela se desloca (arrastando o fundo com a ferramenta Seleção), se amplia (pinça no trackpadpinça, botões ± da barra, ⌘+Ctrl + / ⌘−Ctrl −) e se recentra no diagrama (⌘0Ctrl 0 ou o botão do meio); o fator de zoom aparece embaixo à direita. Três ferramentas, tanto na barra quanto na paleta:

Ferramenta	Gesto	Efeito
Vértice	clique na tela	põe um vértice. Posto sobre a extremidade livre de uma perna, conecta-se a ela.
Linha	arrastar de um vértice a outro	linha interna (propagador) da partícula selecionada na paleta.
	arrastar de um vértice para o vazio	perna externa que sai do vértice.
	arrastar do vazio para um vértice	perna externa que entra no vértice.
Seleção	clicar, arrastar	seleciona e move um vértice ou a extremidade de uma perna; a caixa Seleção da aba Análise mostra suas propriedades. `⌫Delete` ou o botãoO botão Excluir apaga.

A caixa Partícula a desenhar lista os campos do modelo com o nome de exibição ( $e^-/e^+$ , $W^+/W^-$ …), o nome na linguagem de modelo e o código Monte Carlo PDG. Passe o cursor sobre uma partícula: um balão lembra spin, carga, cor, massa e largura.

Cada perna externa recebe um número: é o seu momento $p_1, p_2, \dots$ nas regras e na amplitude. Selecione uma perna para trocar sua partícula (Campo), passá-la a antipartícula, ou fixar sua direção quando o sentido do tempo não a interpreta. Selecione uma linha interna para ver seu campo e o sentido em que a partícula circula (de → para; Inverter o fluxo).

O sentido do tempo

Leitura Feynman–Stückelberg das pernas segundo o eixo do tempo — Com tempo →, uma perna à esquerda de um vértice entra, uma perna à direita sai. A seta do fluxo fermiônico diz o resto: com o tempo, partícula; contra o tempo, antipartícula.

Por padrão, a opção O sentido do tempo interpreta as pernas está ativa. A tela lê então o diagrama como se leria num livro: a posição de uma perna em relação ao seu vértice, ao longo do eixo do tempo (tempo → ou tempo ↑), torna-a de entrada ou de saída, e uma linha fermiônica cuja seta sobe o tempo é a antipartícula. Enquanto você puxa uma perna, a paleta anuncia o que ela será ao soltar.

Desative a opção para fixar você mesmo entrada / saída e partícula / antipartícula em cada perna — útil para um diagrama desenhado numa disposição incomum. O sentido do tempo não tem efeito algum sobre o cálculo: age apenas sobre a leitura e sobre Organizar, que põe as pernas de entrada de um lado e as de saída do outro.

Verificar: a aba Análise

A análise é refeita a cada modificação. No alto: o processo (por exemplo $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$ ), o número de pernas, de vértices, de linhas internas e de laços, e depois o veredito:

Diagrama coerente, com seu fator de simetria e o número de laços fermiônicos; ou
um erro (as mensagens do motor estão em inglês): um vértice só tem duas linhas; o diagrama não é conexo — uma perna que termina perto de um vértice não está presa a ele; ou o vértice e ve W não existe neste modelo, e então vem a lista dos vértices do modelo que compartilham a maior parte desses campos, para localizar uma antipartícula esquecida.

Seguem as caixas Vértice (a regra ligada a cada vértice, seus momentos entrantes), Momentos internos (cada propagador com seu momento em função dos $p_i$ ), Cadeias fermiônicas (em que ordem os espinores se leem — com Majoranas, a orientação de cada cadeia) e Regras de Feynman e amplitude: os vértices em LaTeX e a amplitude $i\mathcal M$ montada, com cadeias espinoriais e propagadores por extenso.

A caixa ⟨|ℳ|²⟩ analítico aciona o motor simbólico sobre todos os diagramas válidos do processo: traços de Dirac, somas de polarização e de cor, média sobre o estado inicial, resultado em $s, t, u$ . Três marcações simplificam a escrita: massas nulas omitidas, u = Σm² − s − t, c_W² = 1 − s_W².

Vários diagramas, geração

A caixa Diagramas guarda a lista dos diagramas do documento. + acrescenta um vazio, ⧉ duplica o atual mantendo suas pernas externas (prático para desenhar o segundo diagrama de um mesmo processo), − exclui. A caixa de seleção diante de cada diagrama decide se ele entra na soma das amplitudes; Todos os diagramas marca ou desmarca tudo, e o contador «n somado(s)» diz quantos serão de fato somados. A escolha é gravada com o documento — prático para isolar um canal (só o Z, só o canal t) ou medir uma interferência comparando com e sem.

Gerar enumera todos os diagramas em nível de árvore do processo definido pelas pernas externas do diagrama atual, dispõe-nos sozinho e os nomeia conforme seus vértices e propagadores. Duas variantes: Adicionar os diagramas que faltam completa seus desenhos sem tocá-los (as duplicatas são reconhecidas seja qual for a disposição); Substituir por todos os diagramas em nível de árvore recomeça do zero.

Todos os cálculos da aba Cálculo referem-se à soma das amplitudes dos diagramas válidos do documento que descrevem o mesmo processo que o diagrama atual — mesmas partículas de entrada e de saída, seja qual for a ordem em que você puxou as pernas: os números $p_i$ são alinhados sozinhos com os do diagrama atual. O número de diagramas somados é lembrado antes de cada resultado, e os diagramas deixados de fora são listados com a razão (diagrama desmarcado, inválido, ou outro processo). Para isolar a contribuição de um único diagrama, exclua os outros — ou duplique o documento.

Calcular: a aba Cálculo

Para um espalhamento $2\to2$ : informe √s em GeV e cos θ (ângulo de espalhamento no centro de massa), depois Calcular. Você obtém $\langle|\mathcal M|^2\rangle$ (média sobre spins e cores iniciais, soma sobre os finais), $d\sigma/d\Omega$ em pb nesse ângulo, uma tabela $d\sigma/d\Omega(\cos\theta)$ e a seção de choque total integrada por quadratura de Gauss–Legendre, com um corte $|\cos\theta|\le c$ para os processos com polo coulombiano (Bhabha, Compton em baixa energia…) em que a $\sigma$ total diverge. A curva $d\sigma/d\Omega(\cos\theta)$ pode passar a ordenada log e se exporta (veja adiante).

O grupo Expressão e etapas do cálculo mostra, durante o cálculo e depois, o que o motor faz: rede de tensores contraídos, laço sobre as helicidades, fatores de média, conversão $\mathrm{GeV^{-2}}\to\mathrm{pb}$ ( $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}3894\ \mathrm{mb}$ ). Os cálculos usam todos os núcleos.

Traçar em função da energia

σ(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) em função de √s — A varredura também exporta uma tabela $\sqrt s$ , $\sigma$ , $d\sigma/d\Omega$ , $\langle|\mathcal M|^2\rangle$ .

Gráfico em função da energia: informe √s de … a …, o número de pontos, a escala log ou linear, a Grandeza ( $\sigma$ total, $d\sigma/d\Omega$ a um dado $\cos\theta$ , ou $\langle|\mathcal M|^2\rangle$ ), depois Traçar. Os eixos se ajustam aos dados; um pico de ressonância aparece se a largura do bóson estiver declarada no modelo. A marcação √s log espaça os pontos logaritmicamente (e passa a abscissa para log), a marcação ordenada log muda a escala vertical sem recalcular.

Um clique num gráfico (ou na lupa) abre-o ampliado numa folha redimensionável, com os mesmos ajustes e o mesmo menu de exportação. Cada gráfico — tanto o traçado em energia quanto a curva $d\sigma/d\Omega(\cos\theta)$ — tem seu menu Exportar: imagem PNG (resolução dobrada), documento PDF ou desenho SVG (vetoriais) — num estilo de publicação: eixos emoldurados, grade, graduações $10^n$ nos eixos log, máximo anotado — ou dados CSV (todas as colunas da tabela), com um título que lembra o processo e a energia.

Decaimentos

Quando o diagrama tem uma única perna de entrada, a aba Cálculo passa a ser a de um decaimento em repouso: Largura parcial Γ (fórmula fechada para dois corpos, integração de Dalitz para três), Vida média τ = ħ/Γ e Meia-vida T½, e se o modelo declara uma Largura total para a partícula mãe, a Razão de ramificação.

$\tau$ e $T_{1/2}$ supõem que os diagramas somados constituem toda a largura. Para o múon ou o píon carregado isso é verdade; para o Z, use a razão de ramificação. Partículas idênticas no estado final recebem seu fator $1/n!$ automaticamente ( $X\to uu$ , $\pi^0\to\gamma\gamma$ , $h\to\dots$ ).

Além de $2\to2$ : Monte Carlo

Para $2\to3$ , $2\to4$ , $1\to4$ …, o espaço de fase é integrado por Monte Carlo (algoritmo RAMBO), com o número de pontos desejado e alguns Cortes: energia mínima de cada partícula final, massa mínima de cada par, $|\cos\theta|$ máximo em relação ao feixe. O resultado vem com seu erro estatístico. Os cortes são indispensáveis assim que um fóton ou um glúon sem massa é emitido (divergências moles e colineares).

A aba Teoria

Mostra a fonte do modelo atual: a lagrangiana de interação, os campos, os parâmetros e seus valores, e depois a lista expansível de todos os vértices derivados. Para um modelo integrado, Duplicar para editar; para um dos seus, edite e pressione Aplicar — os erros de sintaxe são indicados com sua linha, os diagramas são reanalisados com as novas regras. Exportar… escreve o modelo num arquivo .feyn, para compartilhar ou versionar.

Para um modelo importado de um UFO, a aba lembra a origem, o número de campos, de vértices e de parâmetros, e as Notas de importação (vértices ignorados, convenções). Suas regras não são editáveis: modifique o modelo FeynRules de origem e importe de novo.