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Calcolare un processo

Disegnare, verificare, calcolare — ciò che fa lo spazio Calcolo. Dal diagramma alla sezione d'urto, passando per le regole che il modello ne trae.

Disegnare un diagramma

La tela si sposta (trascinando lo sfondo con lo strumento Selezione), si ingrandisce (pizzico sul trackpadpizzico, pulsanti ± della barra, ⌘+Ctrl + / ⌘−Ctrl −) e si ricentra sul diagramma (⌘0Ctrl 0 o il pulsante centrale); il fattore di zoom compare in basso a destra. Tre strumenti, nella barra come nella tavolozza:

Strumento	Gesto	Effetto
Vertice	clic sulla tela	posa un vertice. Posato sull'estremità libera di una gamba, vi si collega.
Linea	trascinare da un vertice a un altro	linea interna (propagatore) della particella selezionata nella tavolozza.
	trascinare da un vertice nel vuoto	gamba esterna che esce dal vertice.
	trascinare dal vuoto verso un vertice	gamba esterna che entra nel vertice.
Selezione	clic, trascinamento	seleziona e sposta un vertice o l'estremità di una gamba; il riquadro Selezione della scheda Analisi ne mostra le proprietà. `⌫Delete` o il pulsanteIl pulsante Elimina cancella.

Il riquadro Particella da tracciare elenca i campi del modello con il nome visualizzato ( $e^-/e^+$ , $W^+/W^-$ …), il nome nel linguaggio di modello e il codice Monte Carlo PDG. Passate sopra una particella: un fumetto ricorda spin, carica, colore, massa e larghezza.

Ogni gamba esterna riceve un numero: è il suo impulso $p_1, p_2, \dots$ nelle regole e nell'ampiezza. Selezionate una gamba per cambiarne la particella (Campo), passarla ad antiparticella, o fissarne la direzione quando il verso del tempo non la interpreta. Selezionate una linea interna per vederne il campo e il verso in cui circola la particella (da → verso; Inverti il flusso).

Il verso del tempo

Lettura Feynman–Stückelberg delle gambe secondo l'asse del tempo — Con tempo →, una gamba a sinistra di un vertice entra, una gamba a destra esce. La freccia del flusso fermionico dice il resto: col tempo, particella; contro il tempo, antiparticella.

Per impostazione predefinita l'opzione Il verso del tempo interpreta le gambe è attiva. La tela legge allora il diagramma come lo si leggerebbe in un libro: la posizione di una gamba rispetto al suo vertice, lungo l'asse del tempo (tempo → o tempo ↑), la rende entrante o uscente, e una linea fermionica la cui freccia risale il tempo è l'antiparticella. Mentre tirate una gamba, la tavolozza annuncia che cosa sarà al rilascio.

Disattivate l'opzione per fissare voi stessi entrante / uscente e particella / antiparticella su ogni gamba — utile per un diagramma disegnato in una disposizione insolita. Il verso del tempo non ha alcun effetto sul calcolo: agisce solo sulla lettura e su Disponi, che mette le gambe entranti da una parte e le uscenti dall'altra.

Verificare: la scheda Analisi

L'analisi viene rifatta a ogni modifica. In testa: il processo (per esempio $e^-e^+\to\mu^-\mu^+$ ), il numero di gambe, di vertici, di linee interne e di anelli, poi il verdetto:

Diagramma coerente, con il suo fattore di simmetria e il numero di anelli fermionici; oppure
un errore (i messaggi del motore sono in inglese): un vertice ha solo due linee; il diagramma non è connesso — una gamba che finisce vicino a un vertice non vi è attaccata; oppure il vertice e ve W non esiste in questo modello, e in tal caso segue l'elenco dei vertici del modello che condividono la maggior parte di quei campi, per scovare un'antiparticella dimenticata.

Seguono i riquadri Vertice (la regola legata a ogni vertice, i suoi impulsi entranti), Impulsi interni (ogni propagatore con il suo impulso in funzione dei $p_i$ ), Catene fermioniche (in che ordine si leggono gli spinori — con i Majorana, l'orientazione di ciascuna catena) e Regole di Feynman e ampiezza: i vertici in LaTeX e l'ampiezza $i\mathcal M$ assemblata, con catene spinoriali e propagatori in chiaro.

Il riquadro ⟨|ℳ|²⟩ analitico lancia il motore simbolico su tutti i diagrammi validi del processo: tracce di Dirac, somme di polarizzazione e di colore, media sullo stato iniziale, risultato in $s, t, u$ . Tre caselle semplificano la scrittura: masse nulle omesse, u = Σm² − s − t, c_W² = 1 − s_W².

Più diagrammi, generazione

Il riquadro Diagrammi tiene l'elenco dei diagrammi del documento. + aggiunge un diagramma vuoto, ⧉ duplica quello corrente conservandone le gambe esterne (comodo per disegnare il secondo diagramma di uno stesso processo), − elimina. La casella davanti a ogni diagramma decide se entra nella somma delle ampiezze; Tutti i diagrammi spunta o toglie tutto, e il contatore «n sommato/i» dice quanti saranno effettivamente sommati. La scelta viene salvata col documento — comoda per isolare un canale (il solo Z, il solo canale t) o per misurare un'interferenza confrontando con e senza.

Genera enumera tutti i diagrammi ad albero del processo definito dalle gambe esterne del diagramma corrente, li dispone da sé e li nomina in base ai loro vertici e propagatori. Due varianti: Aggiungi i diagrammi mancanti completa i vostri disegni senza toccarli (i doppioni sono riconosciuti qualunque sia la disposizione); Sostituisci con tutti i diagrammi ad albero riparte da zero.

Tutti i calcoli della scheda Calcolo riguardano la somma delle ampiezze dei diagrammi validi del documento che descrivono lo stesso processo del diagramma corrente — stesse particelle entranti e uscenti, qualunque sia l'ordine in cui avete tirato le gambe: i numeri $p_i$ vengono allineati da sé a quelli del diagramma corrente. Il numero di diagrammi sommati è richiamato prima di ogni risultato, e i diagrammi lasciati fuori sono elencati con la ragione (diagramma deselezionato, non valido, o altro processo). Per isolare il contributo di un solo diagramma, eliminate gli altri — oppure duplicate il documento.

Calcolare: la scheda Calcolo

Per una diffusione $2\to2$ : inserite √s in GeV e cos θ (angolo di diffusione nel centro di massa), poi Calcola. Ottenete $\langle|\mathcal M|^2\rangle$ (media sugli spin e sui colori iniziali, somma sui finali), $d\sigma/d\Omega$ in pb a quell'angolo, una tabella $d\sigma/d\Omega(\cos\theta)$ e la sezione d'urto totale integrata per quadratura di Gauss–Legendre, con un taglio $|\cos\theta|\le c$ per i processi con polo coulombiano (Bhabha, Compton a bassa energia…) dove la $\sigma$ totale diverge. La curva $d\sigma/d\Omega(\cos\theta)$ può passare a ordinata log e si esporta (vedi più avanti).

Il gruppo Espressione e passi del calcolo mostra, durante il calcolo e dopo, che cosa fa il motore: rete di tensori contratti, ciclo sulle elicità, fattori di media, conversione $\mathrm{GeV^{-2}}\to\mathrm{pb}$ ( $1\ \mathrm{GeV^{-2}} = 0{,}3894\ \mathrm{mb}$ ). I calcoli usano tutti i core.

Tracciare in funzione dell'energia

σ(e⁺e⁻ → μ⁺μ⁻) in funzione di √s — La scansione esporta anche una tabella $\sqrt s$ , $\sigma$ , $d\sigma/d\Omega$ , $\langle|\mathcal M|^2\rangle$ .

Grafico in funzione dell'energia: date √s da … a …, il numero di punti, la scala log o lineare, la Grandezza ( $\sigma$ totale, $d\sigma/d\Omega$ a un dato $\cos\theta$ , oppure $\langle|\mathcal M|^2\rangle$ ), poi Traccia. Gli assi si adattano ai dati; un picco di risonanza compare se la larghezza del bosone è dichiarata nel modello. La casella √s log distanzia i punti logaritmicamente (e porta l'ascissa in log), la casella ordinata log cambia la scala verticale senza ricalcolare.

Un clic su un grafico (o sulla lente) lo apre ingrandito in un foglio ridimensionabile, con le stesse impostazioni e lo stesso menu di esportazione. Ogni grafico — sia quello in energia sia la curva $d\sigma/d\Omega(\cos\theta)$ — ha il suo menu Esporta: immagine PNG (risoluzione doppia), documento PDF o disegno SVG (vettoriali) — in uno stile da pubblicazione: assi incorniciati, griglia, tacche $10^n$ sugli assi log, massimo annotato — oppure dati CSV (tutte le colonne della tabella), con un titolo che ricorda processo ed energia.

Decadimenti

Quando il diagramma ha una sola gamba entrante, la scheda Calcolo diventa quella di un decadimento a riposo: Larghezza parziale Γ (formula chiusa per due corpi, integrazione di Dalitz per tre), Vita media τ = ħ/Γ e Tempo di dimezzamento T½, e se il modello dichiara una Larghezza totale per la particella madre, il Rapporto di diramazione.

$\tau$ e $T_{1/2}$ presuppongono che i diagrammi sommati costituiscano tutta la larghezza. Per il muone o il pione carico è vero; per la Z, usate il rapporto di diramazione. Le particelle identiche nello stato finale ricevono da sé il loro fattore $1/n!$ ( $X\to uu$ , $\pi^0\to\gamma\gamma$ , $h\to\dots$ ).

Oltre il $2\to2$ : Monte Carlo

Per $2\to3$ , $2\to4$ , $1\to4$ …, lo spazio delle fasi è integrato per Monte Carlo (algoritmo RAMBO), con il numero di punti voluto e dei Tagli: energia minima di ogni particella finale, massa minima di ogni coppia, $|\cos\theta|$ massimo rispetto al fascio. Il risultato è dato con il suo errore statistico. I tagli sono indispensabili non appena viene emesso un fotone o un gluone senza massa (divergenze soffici e collineari).

La scheda Teoria

Mostra la sorgente del modello corrente: la lagrangiana d'interazione, i campi, i parametri e i loro valori, poi l'elenco apribile di tutti i vertici derivati. Per un modello integrato, Duplica per modificare; per uno dei vostri, modificate e premete Applica — gli errori di sintassi sono segnalati con la loro riga, i diagrammi sono rianalizzati con le nuove regole. Esporta… scrive il modello in un file .feyn, da condividere o da versionare.

Per un modello importato da un UFO, la scheda ricorda l'origine, il numero di campi, di vertici e di parametri, e le Note d'importazione (vertici ignorati, convenzioni). Le sue regole non sono modificabili: modificate il modello FeynRules d'origine e reimportate.